1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 18 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设函数 则 f(x，y)= ( )2 设函数 f(x， y)=y2-x2+5，则点 (0，0) ( )（A）是 f(x， y)的极大值点（B）不是 f(x，y) 的驻点（C）是 f(x，y) 的驻点但不是极值点（D）是 f(x， y)的极小值点3 f(x，y)在平面闭区域 D 上有界是二重积分 f(x，y)d 存在的 ( )（A）必要充分的条件（B）充分非必要的条件（C）既非必要也非充分的条件（D）必要非充分的条件
2、4 设 L 为双曲线 xy=1 从点 到(1 ，1)的一段弧，则 Ly ds= ( )5 下列无穷级数中，收敛的无穷级数是 ( )二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 函数 的定义域为_7 在空间直角坐标系中，Oxy 平面上的曲线 绕 x 轴旋转得旋转曲面方程为_.8 三重积分 =_，其中 是球体 x2+y2+z219 级数 的敛散性是_10 设 f(x)= 则 f(x)的傅里叶级数的和函数在 处的值为_.三、计算题11 求过点(一 1，1，2) 并且与平面 2xy+z 一 5=0 和平面 xy=0 都平行的直线方程12 求点 P(1，1，1)到旋转抛物面 S：z=x
3、 2+y2 在点(1，一 1，2)处的切平面的距离13 求 z=sin xcos y 在点 的切平面与法线方程14 设 z=arctan(xy)，求15 设 D 是由 x2+y2=2 与 x2+y2=92 所围成的区域，求二重积分16 计算积分17 求出 z=x3+y3 一 3xy 的极值18 计算三重积分 ，其中 为 x2+y2+z2119 求微分方程(e x+yex)dx+(ex+y+ey)dy=0 的通解20 计算 x2dydz+y2dzdx+z2dxdy，其中为平面 x=0，y=0，z=0，x=a，y=a，z=a 所围成的立体的表面的外侧21 判定级数 的收敛性22 将 f(x)= 展
4、开式 x 的幂级数四、综合题23 设 f(x)是周期为 2 的周期甬数在一个周期一 上的表达式为试写出 f(x)的傅里叶级数的和函数在 x=- 处的值24 求 的收敛域25 设曲线 y=f(x)为连接 A(1，0)，B(0，1)两点的曲线，位于弦 AB 的上方，P(x，y)为其上任一点，弦 BP 与该曲线围成的面积为 x3，求该曲线全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 18 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 A【试题解析】 故 A 选项正确2 【正确答案】 C【试题解析】 f(x
5、，y)=y 2 一 x2+5，=2，所以=0 一(一22)=40，所以 (0，0)点不是 f(x，y)的极值点，是 f(x，y)的驻点3 【正确答案】 D【试题解析】 二重积分存在，则 f(x，y)必然有界，而 f(x，y)有界，二重积分不一定存在4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 (x，y)|0 x 2+y21，y 24x7 【正确答案】 【试题解析】 曲线绕 x 轴旋转，则 x 不变，将 y 换成 从而得旋转曲面的方程为8 【正确答案】 0【试题解析】 因为 关于平面 Oxy 对称
6、，9 【正确答案】 发散【试题解析】 发散，由比较审敛法的极限形式，可知原级数发散10 【正确答案】 【试题解析】 将 f(x)作以 2 为周期的延拓且 f(x)按段光滑而 是 f(x)的间断点，故 f(x)收敛于 即 f(x)的傅里叶级数的和函数在三、计算题11 【正确答案】 两平面的法向量分别为 n1=2，一 1，1 ，n 2=1，一 1，0，则所求直线的方向向量12 【正确答案】 记 F(x，y，z)=x 2+y2 一 z，则所以，S 在点(1，一 1，2)处的切平面丌的方程为 2(x 一 1)一 2(y+1)一(z 一 2)=0，即 2x-2yz 一 2=0，于是，点 P(1，1，1)
7、到 的距离为13 【正确答案】 令 F(x，y，z)=sin xcos y 一 z，则14 【正确答案】 15 【正确答案】 令 x=rcos，y=rsin 且 02，r3，所以16 【正确答案】 17 【正确答案】 设 f(x，y)=x 3+y3 一 3xy，求 f(x，y)的偏导数得 f x(x，y)=3x 2 一3y，f y(x，y)=3y 2-3x，A=f xx=6x，B=f xy=一 3，C=f yy=6y对于第一个驻点(1，1)有 B2 一AC=966=一 270 且 A0则函数在点(1 ，1) 处取得极小值；对于第二个驻点(0，0)有 B2 一 AC=90=90 则函数在此处取不
8、到极值综上，可知函数在点(1，1)处取得极值 f(1，1)=1+1 一 3=一 118 【正确答案】 19 【正确答案】 原方程变形为 ey(ex+1)dy=一 ex(ey 一 1)dx，是可分离变量的方程得 ln |ey 一 1|=一 ln(ex+1)+ln |C|，即 ln(ex+1)+ln |ey一 1|=ln |C|故原方程的通解为(e x+1).(ey 一 1)=C20 【正确答案】 P=x 2，Q=y 2，R=z 2，从而 =2(x+y+z)， 表示所给各平面围成的空间区域，则21 【正确答案】 由于当 x0 时，sin xx，所以 令为收敛级数由比较判别法可知 收敛22 【正确答案】 四、综合题23 【正确答案】 因 x=一 是 f(x)的间断点，故由收敛定理知24 【正确答案】 当 x0 时，e -x1；x0 时，e-x1； x=0 时， 发散，所以收敛域 x(0，+) 25 【正确答案】 由题意可知，图中所示阴影部分面积等于曲边梯形 BPCO 的面积减去直边梯形 BPCO 的面积 (如右图所示)，即这是一阶线性微分方程，解之得 f(x)=一 6x2+Cx+1，因曲线 y=f(x)过 A(1，0) 点，即 f(1)=0，代入上式得C=5，故所求曲线为 y=一 6x2+5x+1
