1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 19 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设向量 a=3，一 2，1与 z 轴正向的夹角为 ，则 满足 ( )2 f(x，y)= 则 fx(0，0)= ( )（A）2（B） 0（C） 1（D）-13 更换积分次序后 f(x，y)dx= ( )4 微分方程 y+x2y=cos x 是 ( )（A）一阶线性齐次微分方程（B）一阶线性非齐次微分方程（C）二阶微分方程（D）可分离变量方程5 设幂级数 anxn 在 x=3 处收敛，则在 x=-22 处 ( )（A）
2、绝对收敛（B）发散（C）敛散性不定（D）条件收敛二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 已知向量 a=(0，一 1，3 和 b=一 1，一 2，1，则一 2a+b=_7 函数 u=ln(x2+y2+z2)在点(1，-1，2)处的梯度为 grad u(1，一 1，2)=_8 设 z=uv+sin，u=cost，u=e t，=t，则 =_9 10 三、计算题11 求微分方程 y“一 4y+3y=0 满足初始条件 y(0)=4，y(0)=10 的特解12 求幂级数 的收敛区间13 求一曲线，使得该曲线上任意点(x，y)处的切线平行于 x+3y=1，且点(3，1)在该曲线上14
3、 判断级数 的敛散性15 求微分方程 y“一 4y=2e2x 的通解16 将函数 f(x)= 展开成 x 的幂级数17 求方程 xy“=y的通解18 求微分方程 的通解19 判断级数 的敛散性20 利用逐项求导或逐项积分求级数 的和函数21 将 cos x 展开成 的幂级数22 求函数 f(x)=x3 一 2x2+4x+1 在 x=1 处的泰勒展开式四、综合题23 f(x)是以 2 为周期的周期函数，它在一个周期-， 上的表达式记 f(x)的傅里叶级数的和函数为 s(x)，求 s(一 1)，s()24 验证在整个 Oxy 平面内(4x 3y3 一 3y2+5)dx+(3x4y2 一 6xy 一
4、 4)dy 是某个二元函数u(x，y)的全微分，并求这样的一个 u(x，y) 25 设 f(x，y)连续，D 是由 y=0，y=x 2，x=1 所围成的区域，且有求 f(x，y)全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 19 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 由题意知积分区域如右图所示则先对 x 积分后对 y 积分的积分区域为 0x1，x 2yx更换积分次序后4 【正确答案】 B【试题解析】 由一阶线
5、性微分方程定义即知5 【正确答案】 A【试题解析】 由阿贝尔定理可知，当|x|3 时，幂级数绝对收敛，因此在 x=一 2处幂级数绝对收敛二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 一 1，0 ，一 5【试题解析】 2a+b=一 20，一 1，3)+ 一 1，一 2，1=0，2，一 6+一 1，一2，1=一 1，0，一 57 【正确答案】 【试题解析】 u=ln(x 2+y2+z2)分别对 x，y，z 求一阶偏导数，8 【正确答案】 e t(cos tsint)+cos t【试题解析】 =v.(一 sint)+u.et+cos .1=cos t.et+et(一
6、sint)+cos t=et(cos tsint)+cos t9 【正确答案】 y=ln xy+C【试题解析】 所以两边积分得 ln x=yln yC，即 y=ln xy+C10 【正确答案】 0【试题解析】 三、计算题11 【正确答案】 特征方程 r2 一 4r+3=0，特征根 r1=1，r 2=3，方程通解：y=C1ex+C2e3x，由于 y(0)=4，y(0)=10 ，得 C1=1，C 2=3，所以所求特解为y=ex+3e3x12 【正确答案】 令 x-1=t，原级数转化为=1，故收敛半径 R=113 【正确答案】 又因为点(3，1)在该曲线上，故有 C= 因此所求方程为 即 3y+x=
7、614 【正确答案】 令 所以 f(x)是1，+) 上的单调减函数，且 故由莱布尼茨定理，可知原级数收敛另一方面，因为 发散，故原级数非绝对收敛15 【正确答案】 特征方程为 r2 一 4=0，故其特征根为 r1=2，r 2=一 2，故齐次方程的通解为 y=C1e2x+C2e-2x又 =2 是特征方程的单根，故设原方程的一个特解为=2Ae2x+4Axe2x+2Ae2x=4Ae2x+4Axe2x，故4Axe2x+4Ae2x 一 4Axe2x=2e2x，故 由此得通解为y=C1e2x+C2e-2x+16 【正确答案】 |x|+，将其中的 x 换成一 x2，得到|x2|+，|x|+，从而17 【正确
8、答案】 令 p=y，代入原方程得 xp=p，分离变量 两边积分得 ln |p|=ln |x|+ln C1，即 p=C1x，将 p=y代入上式得 =C1x，分离变量 dy=C1xdx，两边积分得18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 22 【正确答案】 f(1)=12+4+1=4 ，f(1)=3x 24x+4|x=1=3，f“(1)=6x 一4|x=1=2，f“(1)=6，f (n)(1)=0(n4)，故 f(x)在 x=1 处的泰勒展开式为四、综合题23 【正确答案】 由收敛定理得 s(-1)=f(一 1)=(x+1)|x=-1=0(因 x=一 1 是 f(x)的连续点)；24 【正确答案】 令 P(x，y)=4x 3y3 一 3y2+5，Q(x，y)=3x 4y2 一 6xy 一 4，因为在 Oxy 平面内处处成立，所以表达式是某个二元函数u(x，y)的全微分，且可取 u(x,y)=(0,0)(x,y)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0xP(x,0)dx+0yQ(x,y)dy=0x5dx+0y(3x4y2 一 6xy 一 4)dy=5x+x4y3 一 3xy2 一 4y25 【正确答案】 积分区域如右图，因 D 是一有界闭区域， f(x，y)连续，所以为一定值 I
