1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 20 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 向量 a=1， -1，2与 b=2，1，一 1的夹角为 ，则 cos= ( )2 3 r 为圆周 则 rx2ds= ( )4 微分方程 y“=ex 的通解是 ( )（A）e x（B） e2+C1（C） ex+C1x（D）e x+C1x+C25 设幂级数 的收敛半径分别为 的收敛半径为 ( )二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 微分方程 x2dy+(3xy-y)dx=0 的通解是_7 若级
2、数 =_8 微分方程 y“+2y一 3y=0 的通解为_9 幂级数 e1+x 在 x=一 1 处展开式为_10 当|x|1 时，无穷级数 的和函数为_三、计算题11 求过点(0 ，1，4) 且与平面 x+2z=1 及 y 一 2z=2 都平行的直线方程12 求曲面 处的切平面方程13 求函数 f(x，y，z)=x 2+y2+z2 一 xyz 在点 P(1，一 1，2)处沿方向 l=1，0，1的方向导数14 15 求函数 z=x2+y2 在 条件下的极值16 求 其中 D 是以(0，0)(1，1)(0 ，1)为顶点的三角形17 计算 (x2ycos x+2xy sin xy2ex)dx+(x2s
3、in x2yex)dy，其中 L 为正向星形线18 求微分方程 的通解19 设为坐标面及平面 x=1，y=1，z=1 所围成的正方体表面的外侧，计算曲面积分 (2xz2+y2 一 z)dxdy20 一曲线通过点(1，3) ，它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点平分，求该曲线方程21 求幂级数 的收敛半径和收敛区间22 求级数 (一 1)n(n+1)xn 的和函数 x(一 1，1) 四、综合题23 试确定 a、 b，使得(ay 2 一 2xy)dx+(bx2+2xy)dy 是某一个函数的全微分24 求函数 f(x，y)=2(x+y)一 x2 一 y2 的极值25 试证 f(x， y)= 在点(0
4、，0) 处两个偏导数存在，但是函数f(x，y)在该点不连续全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 20 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 由对称性， rx2ds=ry2ds=rz2ds，则(2a=rds：球面大圆周长)4 【正确答案】 D【试题解析】 y“=e x，两边同时积分 y=ex+C1，两边再同时积分 y=ex+C1x+C25 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可知 则所求收敛半径二、填空
5、题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 【试题解析】 7 【正确答案】 10【试题解析】 8 【正确答案】 C 1ex+C2e-3x【试题解析】 特征方程为 r2+2r-3=0，其根 r1=1，r 2=一 3，故通解为 y=C1ex+C2e-3x9 【正确答案】 【试题解析】 e x 在 x=0 处的幂级数展开式为 ex= 故 e1+x 在x=-1 处的幂级数展开式为 e1+x=10 【正确答案】 【试题解析】 因|x|1，则级数的首项为一 1，故其和函数为三、计算题11 【正确答案】 设所求直线的方向向量 n=a，b，c，则 a+2c=0，b2c=0，故a=一
6、2c=一 b故取 n=一 2，2，1 ，则所求直线方程为12 【正确答案】 13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 构造拉格朗日函数 F(x，y，)=x 2+y2+ 令是一个极小值点，16 【正确答案】 无法用初等函数表示，故积分时必须考虑次序17 【正确答案】 P=x 2ycos x+2xy sin xy2ex，Q=x 2sin x 一 2yex18 【正确答案】 由一阶线性微分方程的通解公式有19 【正确答案】 设 ：0x1，0y1，0z1由高斯公式得20 【正确答案】 设曲线方程为 y=y(x)，曲线上任一点(x，y)的切线方程为由假设，当 Y=0 时，X=2x ，代
7、入上式，即得曲线所满足的微分方程为积分得 xy=C，且由题意，初始条件为 y| x=1=3，故 C=3，从而所求曲线方程为 xy=3 21 【正确答案】 故级数的收敛半径为 令 t=x 一 1 对 t=2，原级数成为发散对 t=-2 原级数成为是交错级数，由莱布尼茨判别法知该级数收敛，则该级数收敛区间为 t一 2，2)，即 x一 1，3)22 【正确答案】 设其和函数为 s(x)，其一般项为(一 1)n(n+1)xn=(-1)nxn+1四、综合题23 【正确答案】 因 P(x，y)=ay 2 一 2xy，Q(x，y)=bx 2+2xy，若 Pdx+Qdy 是某个函数的全微分，则 故 2ay 一 2x=2bx+2y，则 a=1，b=一 124 【正确答案】 由 得驻点(1，1)，又由于 fxx=一 20，f xy=0，f yy=一 2而=f xy2 一 fxxfyy=0 一(一 2)(一 2)=一 40，且 fxx0，所以 f(x，y)在点(1，1)处取得极大值 f(1， 1)=2(1+1)一 11=225 【正确答案】
