1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 21 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 微分方程 x3y2dx-(2y+xysin x)dy=0 是 ( )（A）一阶线性非齐次微分方程（B）可分离变量微分方程（C）齐次微分方程（D）一阶线性齐次微分方程2 方程 y=ex+y 的通解为 ( )（A）e x 一 e-y=C（B） ex 一 ey=C（C） ex 一 e-y=C（D）e x+e-y=13 级数（A）收敛于 0（B）发散（C）收敛于（D）收敛于4 幂级数 (a1)的收敛半径为 ( )（A）3（
2、B） 0（C）（D）15 幂级数 的和函数为 ( )（A）1n(1-x)（B） arctan(一 x)（C） arctan x（D）ln(1+x)二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 Oxz 平面上的抛物线 z2=3x 绕其对称轴旋转所得的旋转曲面的方程是_7 设函数 u(x，y)= 则 du|(3,4)=_8 函数 z=ln(2 一 x2)+ 的定义域为_9 微分方程 y“+(y)3 一 2x4+1=0 的阶数是_10 设函数 f(x)=x+x2(一 x) 的傅里叶级数展开式为 (ancosnx+bnsinnx)，则其系数 b3=_三、计算题11 一向量的起点在点
3、A(一 1，1，一 2)，此向量在 z 轴、Y 轴和 z 轴的投影依次为4、一 4 和 6，求此向量的终点 B 的坐标12 证明 不存在13 求曲面 x2+y2+z=25 上点(2，3， )处的切平面和法线方程14 求函数 u=xyz 在点(3 ，1，2)处，沿 A(3，1，2)到 B(7，4，14)的方向 l 的方向导数15 求函数 f(x，y)=ln(xy 2+x)的梯度 gradf(x，y)16 设 z=f(2xy，ysin x)，其中 f(u，v)具有连续性的二阶偏导数，求17 计算二次积分18 计算 L(y+2xy)dx+(x2+x+y2)dy，其中 L 是 x2+y2=4x 的上半
4、圆周由 A(4，0)至B(0，0) 的半圆19 计算对坐标面的曲面积分 (x+y+z)dydz，其中是柱面 x2+y2=1(0z1)外侧20 求幂级数 的和函数21 判定级数 的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛22 求微分方程 e2x-ydxex+ydy=0 的通解四、综合题23 求函数 (a0，b0) 的极值24 求直线 与平面 x+2y 一 4z+1=0 的交点坐标25 全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 21 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 B【试题解析】 方
5、程可化为 显然为可分离变量微分方程2 【正确答案】 C【试题解析】 将 y=ex+y 分离变量得，e -ydy=exdx，e -ydy=exdx，从而 ex+e-y=C3 【正确答案】 D【试题解析】 该级数是公比 的等比级数，且|q|= 1，故该级数收敛，则4 【正确答案】 B【试题解析】 所以收敛半径 R=05 【正确答案】 A【试题解析】 因为幂级数 ln(1+x)= ，所以二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 y 2+z2=3x【试题解析】 因为抛物线 z2=3x 绕其对称轴旋转，故有 y2+z2=3x7 【正确答案】 【试题解析】 8 【正确答
6、案】 【试题解析】 9 【正确答案】 2【试题解析】 微分方程 y“+(y)3 一 2x4+1=0 中出现的未知函数的最高阶导数为二阶，因此该微分方程为二阶10 【正确答案】 【试题解析】 三、计算题11 【正确答案】 设 B(x，y，z)，则 =x+1，y 一 1，z+2又向量 在三个坐标轴上的投影分别为向量 的各分量，因此 解之得 x=3，y=一3，z=4从而终点为 B(3，一 3，4)12 【正确答案】 13 【正确答案】 令 F(x，y，z)=x 2+y2+z 一 25，则 Fx=2z，F y=2y，F z=1，从而故取法向量 n=4，6，1 ，于是切平面方程为 4(x 一 2)+6(
7、y 一 3)+(z- )=0 即 4x+6y+z= 法线方程为14 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 积分区域如右图所示阴影：18 【正确答案】 积分路线如右图所示因 P=y+2xy，Q=x 2+x+y2，故 L(y+2xy)dx+(x2+x+y2)dy= (y+2xy)dx+(x2+x+y2)dy=40(0+2x.0)dx+0=019 【正确答案】 设曲面 1：z=0( 下侧)； 2：z=1(上侧)； 表示由、 1、 2 围成的几何图形由高斯定理，原式= =12100=20 【正确答案】 收敛域(一 1，1)21 【正确答案】 22 【正确答案】 原方程可化为：e 2ydy=exdx两边积分 e2ydy=exdx，所以通解为四、综合题23 【正确答案】 令fx(x，y)=0，f y(x，y)=0，得 x=y=0故此函数无极值24 【正确答案】 将直线方程 写成参数式方程 代入到平面方程得 5t+13+2(2t+1)一 4(3t+4)+1=0解之得 t=0，故平面与直线的交点坐标为(13 ，1，4) 25 【正确答案】
