1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 22 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 平面 x+2y 一 3z+4=0 的法向量为 ( )（A）1 ，2，一 3（B） 一 1，2，一 3（C） 1，一 2，3（D）1 ，一 2，32 设 fx(x0，y 0)=0，f y(x0，y 0)=0，则在点(x 0，y 0)处函数 f(x，y) ( )（A）一定取得极值（B）可能取得极值（C）连续（D）全微分为零3 02d02dr12rdz= ( )（A）6（B） 8（C） 2（D）44 二重积分 1edx0
2、lnxf(x，y)dy 改变积分次序后变为 ( )5 幂级数 的收敛半径 R= ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）+二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 若向量 a=(，一 3，2)和 b=1，2，互相垂直，则 =_7 设 f(x，y)=e -xsin(2x+y)，则8 设 =(x，y，z)|0x1，0y1，0z1)，则9 级数 的收敛域为_10 已知 y1=e2，y 2=x2 是微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个特解，则 Q(x)=_三、计算题11 设平面经过原点 A(0，0，0)及 B(1，一 3，2)且与平面 4xy+2z=8 垂直，求此平面的方程1
3、2 求过原点且平行于两平面 x+y+z=10，x+2y+4z=3 的直线方程13 已知直线 L1： 和直线 L2： (1)求直线 L1 的对称式方程(2)求直线 L1 和直线 L2 的夹角14 求函数 u=xy2+z3-xyz 在点 (1，一 1，2)处，沿方向角 的方向 l 的方向导数15 求曲面 z=2x2+3y2 在点 处的切平面方程16 求由方程 2xz-2xyz+ln(xyz)=0 确定的隐函数 z=z(x，y) 在(1，1)处的微分17 求下列函数的定义域：18 直线 L： 绕 z 轴旋转一周，求此旋转曲面方程19 已知函数 z=f(2x+y，x+3y)，其中 f 具有连续的一阶偏
4、导数，求20 求函数 u(x，y，z)= 在(一 1，1，0)处的梯度21 在所有周长等于 6 的直角三角形中，求出斜边最小的三角形22 求极限四、综合题23 设 ancnbn，n=1 ，2， ，且级数 均收敛，证明级数 收敛24 设曲线 y=f(x)上任意一点(x，y)处的切线斜率为 且该曲线经过点(1，2)，求该曲线的方程25 设 f(x)是以 2为周期的周期函数，它在(一 ，) 上的表达式为 f(x)=x2+x，求f(x)的傅里叶级数展开式。全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 22 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号
5、内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 A【试题解析】 x+2y 一 3z+4=0 的法向量为(1，2，一 3)2 【正确答案】 B【试题解析】 A 是错误的由题目的条件只能断定点 (x0，y 0)是驻点，而驻点是可能的极值点，它不一定是极值点B 是正确的因为驻点是可能的极值点C 是错误的因多元函数在某一点可导，不能保证函数在该点连续D 是错误的一般会认为 df=fx(x0，y 0)dx+fy(x0，y 0)dy=0 是正确的，却忘记了这个等式成立的前提是f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微而在多元函数中可导不一定可微3 【正确答案】 D【试题解析】 02d02dr12rdz=202
6、rdr=44 【正确答案】 C【试题解析】 1edx0lnxf(x，y)dy= 01dy (积分区域如右图)5 【正确答案】 B【试题解析】 ，故幂级数的收敛半径为 1二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 2【试题解析】 两向量垂直 a.b=0，即 一 6+2=0，则 =27 【正确答案】 一 e-x2sin(2x+y)+cos(2x+y)【试题解析】 一 e-x.sin(2x+y)+2e-x.cos(2x+y)=一 e-x.cos(2x+y)一 2e-x.sin(2x+y)=一 e-xcos(2x+y)+2sin(2x+y)8 【正确答案】 【试题解析
7、】 9 【正确答案】 一 2，2)【试题解析】 ，收敛半径 R=2，收敛区间(一 2，2)，x=2时, x=一 2 时， 收敛，所以收敛域为一 2，2) 10 【正确答案】 【试题解析】 将 y1=ex，y 2=x2 代入微分方程 y+P(x)y=Q(x)得三、计算题11 【正确答案】 设平面的法向量 n=a，b，c由于 n 垂直于给定平面的法向量4，一 1，2及 =1，一 3，2 ，故取平面的法向量 n=4，一 1，21，一3，2 故所求平面方程为 4x 一 6y 一 11z=012 【正确答案】 所求直线的方向向量为 T，则 T=n1n2= =2，一 3，1，则直线方程为13 【正确答案】
8、 (1)直线 L1 的方向向量为解之得 x=2，y=-3所以点(2，一 3，1)在直线上故直线 L1 的对称式方程为 (2)直线 L2的法向量为 v2=4，一 2， 1，显然 v1v2，从而直线 L1 和直线 L2 互相平行，即夹角 =014 【正确答案】 l 的方向余弦为 ux|(1,-1,2)=(y2 一 yz)|(1,-1,2)=3，u y|(1,-1,2)=(2xy 一 xz)|(1,-1,2)=-4,uz|(1,-1,2)=(3z2 一 xy)|(1,-1,2)=13，15 【正确答案】 令 F(x，y，z)=2x 2+3y2 一 z，则 Fx=4x，F y=6y，F z=一 1，则
9、在点处曲面切平面法向量为 根据点法式方程有：4(x一 1)+ 一 5(z 一 5)=0，整理得 4x+3y 一 5z=16 【正确答案】 令 F(x，y，z)=2xz 一 2xyz+ln(xyz)，则把 x=1，y=1 代入原方程求得 z=1，17 【正确答案】 (1)令 2xx2 一 y20 得(x 一 1)2+y21 故定义域 D=(x，y)|(x一 1)2+y21，为一圆内部的区域(不包括边界) (2)D=(x，y)|y0 且 x+y0 (3)D=(x，y)|一 1x一 3y118 【正确答案】 在 L 上任取一点 M0(1，y 0，z 0)，如右图所示设 M(x，y，z)为M0 绕 z
10、 轴旋转轨迹上任一点，则有 将 y0=z 代入第二方程，将得旋转曲面方程 x2+y2 一 z2=119 【正确答案】 设 u=2x+y，v=x+3y，则20 【正确答案】 21 【正确答案】 设直角三角形的两直角边为 x，y，斜边为 z，则有当 =一 1 时，方程组的前两个式子都不成立，故 一1 由于实际情况必存在斜边最小值，故当直角三角形的两直角边长均为 时，斜边最小22 【正确答案】 令 x=cos，y=sin(0)则(x ，y)(0，0) 等价于 0，则四、综合题23 【正确答案】 因为 cn=cn 一 an+an，由题设 0cn 一 anbn 一 an24 【正确答案】 两边同时积分得 ln y=ln x+ln C，即 y=Cx由 y(1)=2 得 C=2，故所求曲线方程为 y=2x25 【正确答案】
