1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 24 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 在空间直角坐标系中，方程 z=x2+y2 的图形是 ( )（A）椭球面（B）球面（C）椭圆抛物面（D）椭圆锥面2 设函数 z=sin(x+y)，则 ( )（A）cos(x+y)（B）一 cos(x+y)（C） sin(x+y)（D）一 sin(x+y)3 设为半球面 x2+y2+z2=1，z ( )（A）4（B） 2（C） 3（D）4 微分方程 dy=(x2+y 一 1)dx 是 ( )（A）可分离变量的微分方程（
2、B）二阶线性微分方程（C）一阶线性微分方程（D）齐次微分方程5 幂级数 的收敛半径 R= ( )（A）0（B） 2（C） +（D）1二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 向量 =1，一 2，2 的模为_7 设函数 z=f(xy，y 2)，则 8 设积分区域 D 由 x2+y2=1(y0)，y=0 所围成，将二重积分 化为直角坐标下的二重积分为_9 微分方程 ydxxdy=0 的通解为_10 函数 f(x)= 展开成 x+1 的幂级数为_三、计算题11 计算 12 计算 ，其中 D=(x，y)x 2+y2x+y13 计算 ，其中 是由锥面 与平面 z=1 所围成的闭区域
3、14 求由 x22x+y2=0， ，与 z=0 所围成的立体的体积15 计算三重积分 ，其中 是由一 2x2，一 3y6，0z1所围成16 求由直线 x+y=2，x=2 ，y=2 所围成的面积17 计算 的值，L 是抛物线 x=一 y2 上点 A(一 2，一 )与 O(0，0)之间的一段弧18 计算曲线积分 ，其中 L 是有向线段，起点为 A(1，1) ，终点为 B(2，2)19 设 ，求原函数 u(x，y)20 计算曲面积分 ，其中是平面 x+y+z=1 在第一卦限中的部分21 将坐标的曲线积分 转换成对弧长的曲线积分，其中L 为沿抛物线 y=x2+2 从点 A(0，2)到 B(1，3)22
4、 应用格林公式计算曲线积分 ，C由 x=0，y=0，yx=1 围成四、综合题23 求点 M(2，1，4)到直线 L： 的距离24 (1)已知函数 x+y+z=sin(x+y+z)，求 z 对 x，y 的一阶与二阶偏导数； (2)已知函数z= ，求 dz25 求曲面 z=x2+2xy+4y2 在点(1，一 2，13)处的切平面及法线方程全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 24 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C2 【正确答案】 A3 【正确答案】 B【试题解析】 z= ，则 d
5、S= dxdy=dxdy，曲面 在 Oxy 面上的投影为 x2+y21，所以。4 【正确答案】 C5 【正确答案】 D【试题解析】 令 an= ，则 an+1= ，因此，故幂级数的收敛半径为 1二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 3【试题解析】 = =37 【正确答案】 【试题解析】 由 z=f1 (xy，y 2)，则 =f(xy)=yf1，8 【正确答案】 【试题解析】 积分区域 D，如下图所示，则9 【正确答案】 y=Cx (C 为任意常数)【试题解析】 ydx xdy=0，即 两边同时积分得 lny=lnx+lnC，即y=Cx (C 为任意常数)
6、10 【正确答案】 【试题解析】 由 ，得三、计算题11 【正确答案】 12 【正确答案】 利用极坐标系区域 D 可写为 则13 【正确答案】 区域 在 Oxy 平面上的投影区域Dxy(如上图所示) ：x 2+y21，则14 【正确答案】 积分区域 D：(x-1) 2+y21，0z ，由柱面坐标法得15 【正确答案】 16 【正确答案】 积分区域 D：x+y2，x=2 ，y=2，如下图所示17 【正确答案】 弧微分公式：ds= dy因为 x=一 y2，所以 ds=dy，故有18 【正确答案】 令 P(x，y)= (x2sinxy 一 1)，Q(x ，y)= (1+x2sinxy)dy，则故曲线
7、积分与路径无关，选取路径如上图所示，在线段 AC 上 y=1，dy=0，在线段 BC 上，x=2，dx=0故19 【正确答案】 令 P(x，y)=x 2+xy，Q(x，y)=y 2+ ，则有20 【正确答案】 积分区域如下图所示， ：z=1 一 xy，则曲面的面积微元21 【正确答案】 ds= dx= dx，cos= = ，则cos=sin= = 故22 【正确答案】 闭区域 D：x=0，y=0 ，yx=1，如下图所示四、综合题23 【正确答案】 设点 M 到直线 L 的垂足为 N，则 就是点 M 到直线 L 的距离，因点 N 在直线 L 上，故设 N 对应的参变量为 t，则 N(3t+1，一
8、 2t 一 1，t+3)，又因直线 L 的方向向量为 v=3，一 2，1 ，由题意可知 v ， =3t 一 1，一 2t 一 2，t1，则 v? =0即 3(3t 一 1)+(一 2)?(一 2t 一 2)+(t 一 1)=0，解得t=0，从而 =一 1，一 2，一 1)，则有，于是点 M 到直线 L 的距离为 24 【正确答案】 (1)令 F(x，y，z)=x+y+z 一 sin(x+y+z)，则 Fx=Fy=Fz=1 一cos(x+y+z)故(2)所以 dz=25 【正确答案】 设 F(x，y，z)=x 2+2xy+4y2 一 z，则有 Fx=2x+2y，F y=2x+8y，F z=一 1故 Fx(1，一 2，13)= 一 2，F y(1，一 2，13)=一 14，F z(1，一 2，13)=一 1因此切平面方程为一 2(x 一 1)一 14(y+2)一(z 一 13)=0即 2x+14y+z+13=0法线方程为
