1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 28 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设向量 a=3，2，一 1)与 z 轴正向的夹角为 ，则 满足( )2 设函数 f(x， y)在点(x 0， y0)处偏导数存在，并且取得极小值，则下列说法正确的是 ( )（A）f x(x0， y0)0，f xx(x0，y 0)0（B） fx(x0，y 0)=0，f xx(x0，y 0)（C） fx(x0，y 0)0，f xx(x0，y 0)（D）f x(x0， y0)=0，f xx(x0，y 0)03 设积分区域
2、 D 是由直线 x=y，x=0 和 y=2 所围成，则二重积分 ( )（A）1（B） 2（C） 4（D）34 设 L 是圆周 x2+y2=4，则对弧长的曲线积 ( )（A）4（B） 8（C） 2（D）5 设 0unvn(n=1，2)，且无穷级数 发散，则无穷级数 ( )（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）无法判断二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 微分方程 xdy=(x+ +y)dx 的通解为_7 方程 2y“+y一 y=2x 的一个特解是 _8 幂级数 的收敛半径为_9 幂级数 e1+x 在 x=一 1 处展开式为_10 设函数 f(x)=x2(一 x)的
3、傅里叶级数展开式，则其系数 a2=_三、计算题11 设平面 1：2xy+z 一 7=0 和平面 2：x+y+2z 一 11=0，求 1 和 2 的夹角12 求曲面 在点(1，1， )处的切平面方程13 设方程 z2+xyzexy=1 确定函数 z=z(x，y)，求 和 14 求函数 f(x，y)=ln(x 2y+x)的梯度 gradf(x，y)15 计算积分 16 已知积分区域 是由 x2+y2=1,z=一 1 及 z=1 所围成，求三重积分17 计算对坐标的曲线积分 xdx+(y+1)dy+2zdz，其中 L 为从(1，1，1)到(3，4，5)的直线段18 计算对坐标面的曲面积分 ，其中是柱
4、面 x2+y2=1(0z1)外侧19 求微分方程 y“一 2y+y=0 的通解20 求一曲线，使得该曲线上任意点(x，y)处的切线平行于 x+3y=1，且点(1，2)在该曲线上21 判断级数 的敛散性22 设函数 的傅里叶级数展开式为求系数 a3四、综合题23 设矩形的周长为 4，如何选取矩形的长和宽，能使得矩形的面积最大24 求平面 2x+2y+z=4 在第一卦限部分的面积25 将函数 f(x)= 展开成(x+1) 的幂级数全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 28 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均
5、无分。1 【正确答案】 A【试题解析】 cos= 故选 A2 【正确答案】 D3 【正确答案】 C【试题解析】 积分区域 D 如下图所示，则4 【正确答案】 B【试题解析】 圆 x2+y2=4 的参数方程为 ,02，则5 【正确答案】 A二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 【试题解析】 原方程可化为 =1+ + 令 u= ，则 y=ux， =u+x故 u+x =1+u2+u分离变量积分得arctanu=lnx+C将 u= 代入得原方程的通解为 arctan=lnx+C7 【正确答案】 y*=2x2【试题解析】 方程 2y“+y一 y=2x 对应的齐次方
6、程为 2y“+y一 y=0其特征方程为22+ 一 1=0，解之得 1=一 1， 2= 原方程的非齐次项 f(x)=exPm(x)(其中=0，m=1)，而 =0 不是其特征方程的解，故令其特解为 y*=b0x+b1；则y*=b0，y*“=0代入原方程得 b0 一(b 0x+b1)=2x 故得 b0=一 2，b 1=一 2，于是原微分方程的一个特解为 y*=2x28 【正确答案】 1【试题解析】 设 an= ，则 =1，故收敛半径为19 【正确答案】 e 1+x=1+(x+1)+ + +【试题解析】 e x 在 x=0 处的幂级数展开式为 ex=1+x+ + +，故 e1+x 在x=一 1 处的幂
7、级数展开式为 e1+x=1+(x+1)+ + +10 【正确答案】 1【试题解析】 a 2= x2cos2xdx= x2cos2xdx=1三、计算题11 【正确答案】 设两平面的夹角为 ，由于两平面的法向量分别为疗 n1=2，一1，1， n2=1，1，2 ，故 即两平面的夹角 = 。12 【正确答案】 z x = ，z y=，则 zx（1，1）= ，z y（1，1）= ，故所求平面方程为 （x1） (y1)（z ）=0。13 【正确答案】 令 F(x，y，z)=z 2+xyzexy1，则14 【正确答案】 f x= ，f y= ，故 gardf(x，y)=。15 【正确答案】 16 【正确答案
8、】 17 【正确答案】 由题意可知，直线的参数方程为 x=1+2t，y=1+3t ，z=1+4t(0t1)，故 xdx+(y+1)dy+2zdz= 2(1+2t)+3(1+3t+1)+42(1+4t)dt= (45t+16)dt= 。18 【正确答案】 积分区域，如下图所示，利用柱坐标变换。令x=cos，y=sin，0z1。19 【正确答案】 微分方程的特征方程为 r22r+1=0，则其特征方程根为 r1=r2=1，故所求通解为 y=(C1+C2x)ex。20 【正确答案】 由题意 y=一 ，所以 y=一 x+C又因为点(1，2)在该曲线上，故有 C=2+ = ，因此所求方程为 y=一 x+ 即 3y+x=721 【正确答案】 ，因此该级数收敛。22 【正确答案】 四、综合题23 【正确答案】 设矩形的长为 x，宽为 y，面积为 S，则 S=xy，x+y=2 构造拉格朗日函数 F(x，y，)=xy+(x+y 一 2)解方程组 可得驻点 x=1，y=1，=：一 1由于驻点唯一，且实际问题存在最大值，故(1，1)是问题的最大值点，最大值为 S=124 【正确答案】 设所求曲面的面积为 S，在 Oxy 面上投影区域为 D：x+Y2，则有：x=4 2x 一 2y，(x，y)D ，故25 【正确答案】
