1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 29 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 微分方程(y“)+2(y) 5=x2+x3 的阶数是 ( )（A）5（B） 4（C） 3（D）22 y“=sin(一 x)的通解为 ( )（A）sin(一 x)（B）一 sin(一 x)+C1x+C2（C）一 sin(一 x)（D）sin(一 x)+C1x+C23 微分方程 x3y2dx 一(2y+xysinx)dy=0 是 ( )（A）可分离变量微分方程（B）一阶线性齐次微分方程（C）一阶线性非齐次微分方程（D）
2、齐次微分方程4 下列命题中正确的是 ( )5 幂级数 x+2x2+3x3+nxn+的收敛区域为 ( )（A）一 1，1（B） (一 1，1)（C） (一 1，1（D）一 1，1)二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 已知向量 =k，2，一 6)和 =2，一 1，3)平行，则常数 k=_7 设函数 f(x， y)=x2 一 y2，则 f(x+y， )=_8 设 是常数，若 是某个函数 u(x，y)的全微分，则=_9 通解为 y=C1ex+C2e2x(C1C2 为任意实数)的二阶常系数线性齐次微分方程为_10 0，则 必_三、计算题11 求过点(2,4,-1)并且与直线
3、平行的直线方程12 设函数 z=f(exy，x+y)，其中 f 是可微函数，求 ， 13 设函数 f(x，y，z)=x 2+2y2+2xyz，求 f(x，y，z)在点 P(-1，1，2)处的梯度14 设函数 z=ycosx，求 15 求曲面 z=2x2+y2 在点(1，1，3)处的切平面方程16 计算二重积分 ，其中 D 是由 x+y=一 1，x=0，y=0 所围成的区域17 设 是由旋转抛物面 z=x2+y2，平面 z=0 及平面 z=1 所围成的区域，求三重积分18 计算对弧长的曲线积分 (x2+y2+z2)ds，其中 L 为螺旋线x=cost,y=sint，z=2t(0t) 的一段19
4、计算曲线积分 x2ydx 一 xy2dy，其中 L 为上半圆 x2+y2=4 和 y=0 所围成的曲线，取逆时针方向20 求微分方程 y=ex-y 满足初始条件 y(0)=1 的特解21 判定级数 的收敛性22 设函数分 f(x)=x2(0x)展开成为余弦级数为 ，求系数a2四、综合题23 求函数 f(x，y)=2(x+y)一 x2 一 y2 的极值24 验证在整个 Oxy 平面内(x 2+2xy+y2)dx+(x2+2xyy2)dy 是某个二元函数 u(x，y)的全微分，并求这样的一个 u(x，y)25 设 f(x)是以 2 为周期函数，它在(一 ，) 上的表达式为，求 f(x)的傅里叶级数
5、展开式全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 29 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 D2 【正确答案】 B【试题解析】 对方程两边积分得 y=cos(一 x)+C1，对方程两边积分得 y=一 sin(一x)+C1x+C2，即为原方程的通解3 【正确答案】 A4 【正确答案】 C【试题解析】 可用排除法，A 选项对于交错级数不成立；对于 B 选项，若 un=， vn= ，则与 vn 都发散，但 (un+vn)=0 收敛，故 B 选项错误；对于 D 选项，当收敛时， 有可能为 1，故
6、 D 选项错误；则选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 收敛半径 R= =1，又因为当 x=1 时，幂级数为 1+2+3+n+，此时幂级数发散，而当 x=一 1 时，幂级数化为一1+23+(一 1)nn+，此时幂级数发散，故收敛区域为(一 1，1)二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 4【试题解析】 因为 与 平行，故有 =2，即 k=4。7 【正确答案】 x 2+xy+y2【试题解析】 因为 f(x，y)=x 2y2，则 f(x+y， )=(x+y) 2（ ）2=x2+2xy+y2xy=x2+xy+y2。8 【正确答案】 2【试题解析】 令 P（x，
7、y）= +x，Q（x，y）=y 2 ，则 ，因为 是某个函数 u(x，y)的全微分，故 ，即 =2。9 【正确答案】 y“一 3y+2y=0【试题解析】 由题意可知，二阶常系数线性齐次微分方程对应的特征方程有两个不相等的实根，r 1=1，r 2=2，故特征方程为 r2 一 3r+2=0，因此所要求的微分方程为 y“一 3y+2y=010 【正确答案】 发散三、计算题11 【正确答案】 直线 的方向向量为 v=10，2，11 ，因为所求的直线过(2，4，一 1)，故其方程式为12 【正确答案】 =f1(exy)+f2(x+y)=yexyf1+f2， =f1(exy)+f2(x+y)=xexyf1
8、+f213 【正确答案】 =2x+2yz， =4y+2xz， =2xy，则 =22=2 =422=0 =一 2，故 gardf(一 1，1，2)=2，0，一 214 【正确答案】 =ysinx， =sinx15 【正确答案】 令 F(x，y，z)=2x 2+y2 一 z，故所求切平面方程为 4(x 一 1)+2(y 一 1)一(z 一 3)=016 【正确答案】 积分区域 D，如下图所示，于是17 【正确答案】 积分区域 ，如下图所示， 在 Oxy 坐标面上的投影域为Dxy：x 2+y21， (x2+y2+z)dxdydz= (r2+z)dz=18 【正确答案】 (x2+y2+z2)ds= (
9、1+4t2) dt=(1+4t2)dt=19 【正确答案】 令 P(x，y)=x 2y，Q(x ，y)= 一 xy2，则 =y2， =x2，将 L所围成的积分区域记为 D，根据格林公式有 x2ydx 一 xy2dy= (一 y2 一 x2)dxdy=一 =一 420 【正确答案】 y=e x-y，即 eydy=exdx 两边同时积分得 ey=ex+C，将初始条件 y(0)=1 代入得 C=e 一 1，故微分方程的特解为 ey 一 ex 一 e=一 121 【正确答案】 由于当 x0 时，sinx n= ，令 un=，又因为 是等比级数，其中 q= 为收敛数由比较判别法可知 收敛22 【正确答案】 四、综合题23 【正确答案】 由 得驻点(1，1)，又由于 fxx=一 2xy=0，f yy=一 2，而= 一 fxxfyy=0-(一 2)(一 2)=一 424 【正确答案】 令 P(x，y)=x 2+2xy+y2，Q(x，y)=x 2+2xyy2，由于 =2x+2y=在 Oxy 平面内处处成立，所以(x 2+2xy+y2)dx+(x2+2xyy2)dy 是某个二元函数u(x，y)的全微分故25 【正确答案】 函数 f(x)及其延拓后的函数是按段光滑的，由收敛定理可知 f(x)可在(一 ，)内展开为傅里叶级数所以在区间(一 ，)上
