1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 3 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设向量 a (2，1，1与 y 轴正向的夹角为 ，则 满足 ( )（A）（B）（C）（D）2 函数 f(x，y) 在(0 ，0)点 ( )（A）连续（B）不连续（C）可微（D）偏导数存在3 设积分区域 D 是由直线 xy，y0 及 所围成，则二重积分 的值为 ( )4 微分方程 xy“y 0 的通解是 ( )（A）yC 1（B） yC 1x2C 2（C） yC 1（D）yC 1xC 2ex5 在下列无穷级数中，收敛的
2、无穷级数是 ( )二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 向量 a1，1， )与 x 轴的夹角 _7 设 f(x，y)e x sin(x2y)，则 _8 设是上半球面 的上侧，则对坐标的曲面积分y3dxdy_9 微分方程 x2dy(3xyy)dx0 的通解是_10 设 f(x)是周期为 2 的函数，f(x)在 ， 上的表达式为S(x)是 f(x)的傅里叶级数的和函数，则 S(0)_三、计算题11 求经过点 A(2，1，2)，且垂直于直线段 AB 的平面方程，点 B 的坐标是B(8，7，5)12 设函数 13 求曲线 3x2y 2z 227 在点(3，1，1) 处的切平面
3、方程和法线方程14 求函数 f(x，y)xy 在点(2 ，3)处沿从点(2，3)到点 的方向的方向导数15 求 ，其中。是直线 y2,yx 和双曲线 xy1 所围成的平面区域16 计算二重积分 ，其中 D 是顶点分别为 (0，0)(1，1)(2，0)的三角形闭区域17 求 L(2xysinx)dxx 2dy，L 是曲线 yx 22x 上以 0(0，0)为起点，A(4，8)为终点的曲线弧18 计算对弧长的曲线积分 L(2xy1)ds,其中 L 是直线 yx1 上点(0，1)到点(1，0)的直线段19 求解方程 20 求微分方程 的通解21 判断正项级数 (a0) 的敛散性22 设函数 f(x)x
4、(0x)展开成正弦级数为 ，求系数 b7四、综合题23 求函数 (a0，b0) 的极值24 验证在整个 Oxy 平面内 (4x 3y33y 25)dx(3x 4y26xy4)dy 是某个二元函数u(x，y)的全微分，并求这样的一个 u(x，y) 25 将函数 展开为 x4 的幂级数，并求此级数的收敛域全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 3 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 A【试题解析】 设 y 轴正向的矢量为 b(0,y,0)(y 0)则 (y0)故 答案为 A2 【正确答案
5、】 A【试题解析】 0f(0，0) f(x,y) 在 (0，0) 点连续从而 f(x，y)可在(00) 点不可微答案为 A3 【正确答案】 D【试题解析】 答案为 D4 【正确答案】 B【试题解析】 令 yP，则 yC 1x2C 25 【正确答案】 C【试题解析】 A 为调和级数不收敛 B故不收敛。C为 P 级数 故其收敛D 其一般项在 n时为0 故不收敛答案为 C。二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 【试题解析】 由题意知， 7 【正确答案】 2e x Esin(x2y) cos(x2y)【试题解析】 e x sin(x2y)e x .cos(x2y
6、)e x .cos(x2y).2e x .sin(x2y).22e x sin(x2y)cos(x 2y)8 【正确答案】 0【试题解析】 由高斯公式计算得知： y3dxdy09 【正确答案】 【试题解析】 原方程变形为 ，两端积分得 lny 3lnxlnC， 即 10 【正确答案】 0【试题解析】 当 x0 时，s(x)0 三、计算题11 【正确答案】 本题考查平面方程的求解由于所求平面垂直于直线段 AB，所以其法向量可取为 n 6，6，3)，又平面过点 A(2，1，2)，因此其点法式方程为 6(x2) 6(y1) 3(z2)0， 即 2x2yz8012 【正确答案】 13 【正确答案】 本
7、题考查曲线在某点的切平面方程和法线方程令 F(x，y，z)3x 2y 2z 227，则有 Fx6x，F y2y，F z2z 于是 Fx(3，1，1)18，F y(3，1，1)2，F x(3，1，1)2切平面方程为：18(x3)2(y1)2(z 1)0，即 9xyz27法线方程为：14 【正确答案】 方向15 【正确答案】 积分区域如下图所示：16 【正确答案】 17 【正确答案】 积分区域如下图所示： P2xy sinx，Q x 2 ，故曲线积分与路径无关18 【正确答案】 19 【正确答案】 本题考查微分方程的求解此方程对未知函数 yy(x)来讲不是线性方程，如将其改写为： 上述方程是以 xx(y)为未知函数的一阶线性微分方程， Q(y)y即为原方程的通解20 【正确答案】 21 【正确答案】 若 a1 ，则 级数发散若 a1，则级数为级数发散 若 0a1，则由比值判别法 知级数收敛22 【正确答案】 四、综合题23 【正确答案】 本题考查多元函数极值的求解故此函数无极值24 【正确答案】 令 P(x，y)4x 3y33y 25 Q(x，y)3x 4y26xy4 因为在 Oxy 平面内处处成立，所以表达式是某个二元函数u(x，y)的全微 分，且可取 u(x，y) P(x，y)dxQ(x ，y)dy25 【正确答案】 收敛域为(6， 2)
