1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 4 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 已知 f(x，y)在点(x 0，y 0)的偏导数存在则下列结论正确的是 ( )（A）f(x，y)在(x 0，y 0)点连续（B） f(x，y)在(x 0，y 0)点可微（C）函数 f(x，y 0)在 xx 0 点连续（D）f(x，y)在(x 0，y 0)点有任意方向的方向导数2 极限 ( )（A）（B）（C）（D）3 设 D 由圆 r2 围成，则 ( )（A）（B） 4（C）（D）4 以 ysin3x 为特解的微分方
2、程为 ( )（A）y“y 0（B） y“y0（C） y“9y0（D）y“9y 05 设 an0，(n1，2，3， )，若 收敛，则下列结论正确的是 ( )（A） 发散（B） 发散（C） 发散（D） 收敛二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 在空间直角坐标系中，Oxz 平面上的曲线 绕 z 轴旋转的旋转曲面方程为_7 设 且 f 为可微函数，则全微分 dz_ 8 设为上半球面 x2y 2z 21(z0)，则对面积的曲面积分 _9 微分方程 ex dye y dx0 的通解为_10 当x1 时，无穷级数 的和函数为_三、计算题11 求过点(0 ，2，4) 且与平面 x2z
3、 1 及 y2x2 都平行的直线方程12 已知平面 ：2xyz3 和直线 L： (1)写出直线 L 的对称式方程； (2)求平面 与直线 L 的交点13 设函数 uf(e xcosy，lny ，3x 2)具有连续的二阶偏导数求 14 已知方程 x2y 24yz 23 确定函数 zz(x，y)，求 15 求函数 uf(x，y，z)xxyyz 在点(1，0，3)处沿方向角为 60 ，45，60 的方向导数16 设积分区域 由上半球面 及平面 z0 所围成，求三重积分dxdydz17 计算三重积分 I (y2z 2)dv，其中 是由 Oxy 平面上的曲线 y22x 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 x
4、5 所围成的闭区域18 设为坐标面及平面 x1，y1，z1 所围成的正方体表面的外侧，计算曲面积分 (2xz2y 2z)dxdy19 求 ，其中 L 是依逆时针方向绕圆 x2y 2a 2 一周的路径20 求微分方程 的通解21 讨论级数 亏的敛散性22 求幂级数 的收敛半径和收敛域四、综合题23 求函数 f(x，y)x 34x 22xyy 21 的极值24 证明y ln(x1)dx (x1)e y)dy 是某一函数 u(x，y)的全微分，并求出u(x，y)25 将函数 展开成 x 的幂级数。全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 4 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是
5、符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C【试题解析】 根据多元函数的连续、可导、可微之间的关系可知 A、B 是错误的对于 C，因 F(x)F(x，y 0)是关于 x 的一元函数，从而 F(x0)f x(x0，y 0)是存在的，因此一元函数 F(x)f(x ，y 0)在 xx 0 处是连续的从而 C 是正确的对于D，我们知道，如果 f(x， y)在点(x 0，y 0)可微，则在点(x 0，y 0)处沿任意方向的方向导数都存在但两个偏导数存在并不意味着可微，所以此结论的正确性是有疑问的 事实上，对于函数 f(x，y) ，可以证明在原点的两个偏导数都
6、为零，但是沿方向1，1 的方向导数不存在答案为 C2 【正确答案】 A【试题解析】 .答案为 A3 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查二元积分的计算 积分区域 D 由圆 r2 围成，令xrcos，yrsin 则 答案为 C4 【正确答案】 C【试题解析】 由题可知：特征根 r3i 故 r2q0 故所求微分方程为y“ qy0答案为 C5 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查级数的敛散性二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 z 2(x 2 y2)【试题解析】 由 其曲线为故曲面方程为z2(x 2y 2)7 【正确答案】 【试题解析】 8 【正确答案】
7、2【试题解析】 或者直接由球面积公式 S4r 24(r1)，则其一半为 29 【正确答案】 e xe yC【试题解析】 由 ex dye y dx0 分离变量得 eydye xdx两端积分得 ey e xC，即 exe yC10 【正确答案】 【试题解析】 x1，则级数的首项为1， 其和函数为 三、计算题11 【正确答案】 设所求直线的方向向量 na，b，c) 则a2t0，b2c 0，a2cb 故取 n 2，2，1)则所求直线方程为12 【正确答案】 (1)L 的方向向量为 点(2， 0，3) 在直线 L 上所以直线 L 的对称式方程为 (2)由解得 L 与 的交点坐标为(1 ，1，2)13
8、【正确答案】 根据复合函数求导法14 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 本题考查三重积分的计算如下图所示，Oxy 平面上曲线 y22x绕 x 轴旋转而成的曲面方程为 y2z 22x，故 是由曲面 y2z 22x 及平面 x5所围成的闭区域当 0x5 时，平面 Xx 与 相交的区域为 y2z 22x18 【正确答案】 设 ：01，0y1，0z1 由高斯公式得19 【正确答案】 本题考查曲线积分的计算20 【正确答案】 P(x)2 Q(x)e xye p(x)dx Q(x)ep(x)dxdxC e 2dx exe2dxdxC e 2x e3xdxC e 2x
9、 e3xC 故原方程通解为y ex21 【正确答案】 本题考查级数的敛散件22 【正确答案】 收敛半径 R1 且x 一 31 得 2x4 所以收敛区间为(2，4) 又 当 x2 时，级数 收敛 当 x4 时，级数收敛 收敛域为2，4四、综合题23 【正确答案】 函数有两个极值 f(0， 0)1，f(2 ， 2)3 分别为极大值与极小值24 【正确答案】 本题考查全微分的求解原式在半平面 x1 上是某函数的全微分取(x 0，y 0)为(0，0)，积分路径取为如下图所示折线 ONM 现令 P(x，y)yln(x1) Q(x，y)x 1e y，则有25 【正确答案】 f“(x)32(3x)3 ，f“(0)323 3 ，f“(x)332(3 x) 4 ，f“(0)3323 4 ，f (4)(x)3432(3 x) 5 ，f (4)(0)34323 5 ，f (n)(x)3n! (3x) n1 ，f (n)(0)3n!.3 n1 n!.3 n 31 3 2 x23n x33 n (收敛半径 R0)
