1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 8 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 过点(0 ，2，4) 且与半面 x2z 1 及 y2z2都平行的直线是 ( )（A）（B）（C）（D）2x3(y2) z 402 已知函数 f(xy，xy) x 2y2，则 fx(x，y)f y(x，y) ( )（A）2x2y（B） xy（C） 2x2y（D）xy3 设 ( )4 设曲线 C 是从点 A(1，0)到点 B(1，2)的直线段，则 C(xy)dy ( )（A）0（B） 2（C）（D）5 记 ，其中 D1(
2、x，y)x 2y 21，D 2(x ，y)1x 2y 22，D3(x，y)2x 2y 24，则下列关系式中_成立 ( )（A）I 1I 2 I3（B） I2I 1I 3（C） I2I 3I 1（D）I 3I 2 I1二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 已知向量 a1，3，4和 b2 ，0，1，则 3a6_.7 若 _8 设积分区域 Dx 2y 24，则二重积分 (x，y)dxdy 在极坐标下化为二次积分为_9 的通解为_10 无穷级数 的和为_三、计算题11 已知平面 1：mx3y4z 70 与 2：2x6ynz30 表示两个互相平行的平面，求 m 和 n 的值12
3、 设 wxye z，且 x22yz30，求 13 在曲面 z xy 上求一点，使这点的法线垂直于平面 x3yz 90，并写出法线方程14 计算二重积分 ，其中 B 是由 yx 2，yx 所围成的区域15 计算 I (x2y 2)dxdydz，其中 是由曲线 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面 z2，z 8 所围成的立体。16 设 L 是圆周 x2y 22y0，求关于弧长的曲线积分 L(y2xx 4)ds17 计算曲面积分 f(x,y,z)dS，其中为抛物面 z2(x 2y 2)在 Oxy 面上方的部分，f(x，y，z) 118 计算 dxdydz， 为柱面 及平面z0，za(a0) ，y0 所
4、围成的区域19 解方程 y“2y 3y2x120 将函数 展开成 x 的幂级数，并求收敛区间21 求幂级数 的收敛区间22 求微分方程 满足条件 y x1 1 的特解四、综合题23 求函数 f(x，y)4(x y)x 22y 2 的极值24 设平面薄板所占 Oxy 平面上区域 D，其中 D 是由曲线 ，yx，x2 所围，薄板上每一点的密度等于该点的纵坐标，求该薄板的质量25 将函数 f(x)xarctanx 展开为 x，的幂级数全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 8 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均
5、无分。1 【正确答案】 C【试题解析】 设直线的方向向量 vx，y，z). 则： 又该直线过(0，2，4)点 直线方程为：答案为 C。2 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(xy，xy)x 2y 2(x y)(x y) 故 f(x，y)xy 从而 fx(x，y)f y(x，y)yx答案为 B。3 【正确答案】 D【试题解析】 。答案为 D。4 【正确答案】 B【试题解析】 过点 A 和 B 的直线为 xy1，故 。 答案为 B5 【正确答案】 D【试题解析】 由在 D1 上 (等号仅在圆周 x2y 21 上取到)知，I10；由在 D2 上1 知I 20；由在 D3 上 1知 I3于是有 I3
6、I 2I 1答案为 D。二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 1，9 ，11【试题解析】 a 1，3，4 ，b 2 ，0，1 3，9，12)2，0，11，9，117 【正确答案】 【试题解析】 本题考查函数的偏导数8 【正确答案】 【试题解析】 由积分区域，x 2y 24 即 x2cos2r 2sin24 r24 r2 9 【正确答案】 ylnxyC【试题解析】 本题考查微分方程的通解 两边积分得 lnxylnyC，即ylnxyC10 【正确答案】 e【试题解析】 易知： 三、计算题11 【正确答案】 平面 1 和 2 的法向量分别为 n1 m，3，4)
7、和n22 ，6， n) 若两平面互相平行，则 n1n2，即 解之得m1，n812 【正确答案】 由方程 x22yz30 得 z3 x 22y，则 所以，13 【正确答案】 易知平面 x3yz90 的法向量为 n11，3，1) 令F(x，y，z) zxy 则 Fxy，F yx，F z1 从而曲面上任一点(x 0，y 0，z 0)处的法向量为 n2y 0，x 0，1 依题意知 n 1n2 故有 即x03，y 01 从而曲面上点(3，1，3)处的法线垂直于平面x3yz0 0 该点处的法线方程为 14 【正确答案】 B 可表示为0x1，xyx，由此将二重积分化为累次积分15 【正确答案】 16 【正确
8、答案】 17 【正确答案】 在 Oxy 面上的投影域为 Dxy：x 2y 2218 【正确答案】 在 xOy 平面上的投影区域 D 由 y ，y0 围成，利用柱面坐标系，即 r2cos(0 )及 0故 19 【正确答案】 该方程对应的齐次方程为 y“2y3y0，特征方程为r22r30 ，特征根为 r13，r 21 于是齐次方程通解为 yC 1e3xC 2ex 设非齐次特解为 y*ax b 代人原方程得 故原方程的一个特解为从而原方程的通解为 yC 1e3xC 2ex 20 【正确答案】 21 【正确答案】 收敛故收敛区间为1， 122 【正确答案】 将方程变形为 方程的通解为 ，将条件y|x1 1 代入，得 ， 所以所求特解为 四、综合题23 【正确答案】 而B 2AC80 且A20 f(x ，y) 在点(2 ，1) 处取得极大值为 f(2，1)624 【正确答案】 由于 D(x，y)1x2， yx)，所以 25 【正确答案】
