1、全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 9 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 过点(0 ，2，4) 且与平面 x2z 1 及 y2z2 都平行的直线是 ( )（A）（B）（C）（D）2x3(y2) z 402 若 fx(x0，y 0)f y(x0，y 0)0，则点(x 0，y 0)一定是函数 f(x，y)的 ( )（A）驻点（B）极大值点（C）极小值点（D）极值点3 设区域 D 由圆 x2y 22ax(a0)围成，则二重积分 ( )4 下列微分方程中为线性微分方程的是 ( )5 下述各项正确的
2、是 ( )（A）若 收敛（B）若 都收敛（C）若正项级数 收敛，则 unvn（D）若级数 收敛，且 unvn，则级数 也收敛二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 设 f(x，y)ln(x 2y 2)，g(x，y)e (xy) ，则 fx2，g(x，y)_7 设 处的值为_8 由曲面 围成的闭区域 上的三重积分 (x，y，z)dv 等于用球面坐标表示的(积分顺序为 r， 的)三次积分为_9 设是球面 x2y 2z 2a 2(a0) 的内侧，则曲面积分 (x2y 2z 2)dydz_ 10 微分方程 xdyydxy 2eydy 的全部解为_三、计算题11 设平面 经过点
3、P1(4，2，1)和 P2(2，3，4)，且平行于 y 轴，求平面丌的方程12 求直线 的对称方程13 求椭球面 x22y 2z 2 4 在点(1，1，1) 处的切平面方程和法线方程14 设二元函数 zz(z，y)由方程 zxye z 确定，求 。15 设积分区域 D 是由坐标轴及直线 xy1 所围成，求二重积分 (2x3y)dxdy16 计算 ，其中 D 是由直线 yx 及抛物线 xy 2 所围成的区域17 设 L 为折线 OAB，其中 O(0，0)，A(1 ，1)，B(1，0)，求曲线积分 Lxyds18 计算 ，其中 L 是圆 x2y 24x 的一周19 求微分方程 的通解20 求解方程
4、 21 判断无穷级数 的敛散性22 将函数 f(x)sinx x 展开为傅里叶级数四、综合题23 求函数 f(x，y)x 3y 33xy 的极值24 验证：在整个 xOy 面内，xy 2dxx 2ydy 是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数25 将函数 展开成(x2)的幂级数全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷 9 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C【试题解析】 设直线的方向向量 vx，y，z则：又该直线过(0，2，4)点 直线方程为： 答案为 C2 【正确答案】 A【试题
5、解析】 由复合函数驻点定义，若 fx(x0，y 0)f y(x0，y 0)则(x 0，y 0)为 f(x,y)驻点答案为 A3 【正确答案】 D【试题解析】 积分区域如下图所示： 在坐标下令xrcos，yrsin 答案为 D4 【正确答案】 B【试题解析】 根据线性微分方程定义：线性是指方程关于未知函数 y 及其导数dydx 都是一次的，故只有 B 项满足条件答案为 B5 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查级数敛散性的应用 答案为 A。二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 ln(x 4e 2x2y )【试题解析】 fx 2，g(x，y) fx 2，e
6、 (xy) ln(x 4e 2(xy) )ln(x 4e 2x2y )7 【正确答案】 【试题解析】 8 【正确答案】 【试题解析】 因为 r， ，)|1r2，02，0 )， 由 在 yOz 平面的投影区域如下图阴影部分所示知(0P )， 9 【正确答案】 0【试题解析】 将分为两部分， 1：前半球面，取后侧； 2：后半球面，取前侧 1 和 2 在 Oyz 面的投影区域为 D10 【正确答案】 xye y Cy 及 y0【试题解析】 y0 是所给微分方程的解，下面考虑 y0，将所给微分方程改写为 所以，所给微分方程的全部解是及 y0，即 xye yCy 及 y0三、计算题11 【正确答案】 设
7、平面方程为 AxByCzD 0 点 P1 和 P2 在平面上 平面平行于 Y 轴 A，B，C)0，1，0) 即：B0 联立得： 所以所求平面方程为 x2z60 12 【正确答案】 由直线方程，直线的方向向量为 5，3，3)3 ，2，1) 3，4，1 令 z1，可得 x12，y18，即直线过点(12 ，18，1) 则直线的对称方程为 13 【正确答案】 设 F(x，y，z)x 22y 2z 24 在点(1， 1，1) 处切平面的法向量为，n2，4，2) 所以所求切平面方程为 2(x1)4(y 1)2(z1) 0 即： x2yz40 所求法线方程为 14 【正确答案】 所给方程两边分别关于 x，y
8、 求偏导数，得15 【正确答案】 16 【正确答案】 本题考查二重积分的计算先对 x 后对 y 积分时，区域 D(如下图)可表示为 0y1，y 2xy于是有 但此题如果化为先对 y 后对 x 积分， 则有 ， 由于 的原函数不能用初等函数来表示，所以它的积分难以进一步求出这表明这个例子不能采用先对 y后对 x 的积分公式来计算17 【正确答案】 18 【正确答案】 本题考查曲线积分的计算，用直角坐标系 由于 x2y 24z用隐函数求导得 ， 则：19 【正确答案】 ln(lny)lnzlnC 所以通解为 ye Cx20 【正确答案】 本题考查微分方程的求解此方程对未知函数 yy(x)来讲不是线
9、性方程，如将其改写为： 上述方程是以 xx(y)为未知函数的一阶线性微分方程， ，Q(y)y 故 y 2(Clny) 即为原方程的通解21 【正确答案】 由正项级数比值审敛法 原级数收敛22 【正确答案】 本题考查函数的傅里叶展开f(x)在，上处处连续，且只有3 个极值点，故满足收敛条件又因为 f(x)为偶函数，所以 b0(n1，2，)四、综合题23 【正确答案】 得驻点为(0，0)，(1，1)而fxx6x ，f xy 3，f yy6y，对于(0 ，0)点，B 2AC90，所以(0，0)不是极值点； 对于(1 ，1) 点，B 2AC270，A60， 所以 f(x，y)在(1，1)点处取得极小值为 f(1，1)124 【正确答案】 本题考查全微分的求解现令 Pxy 2，Q x 2y，在整个 xOy 面内恒成立，因此在整个 xOy 面内，xy 2dx 2ydy是某个函数的全微分取积分路线如图所示，所求函数为25 【正确答案】
