1、全国自考高等数学（工专）模拟试卷 3 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 函数 在 x=0 处间断是因为 【 】（A）f(x)在 x=0 无定义（B） f(x)在 x=0 处左、右极限存在但不相等（C） f(x)不存在（D） f(x)f(0)2 函数 f(x)=ln( 一 x)是 【 】（A）偶函数（B）奇函数（C）既奇又偶函数（D）非奇非偶函数3 函数 f(x)= 在 x=0 点 【 】（A）f (0)不存在（B） f+(0)不存在（C） f(0)不存在（D）f(0)=24 函数 y=ax2+
2、b 在区间(一，0)内单调增加，则 a，b 应满足 【 】（A）a0 ，b=0（B） a0，b 为任意实数（D）a0 ，a1) 则 y(n)=_9 设函数 f(x)在(一，+)内连续且为奇函数，则有 f(0) =_10 设 y= ，则 dy|x=1=_11 曲线 y=x2+ln(x+2)有_渐近线12 若点（1，3）是曲线 y=ax3+bx2 的拐点，则 a，b 分别为_13 设 其中 aiaj(ij，i，j=1，2，3)，则线性方程组 AX=B 的解是 _14 不定积分 =_15 设 A、B 为三阶方阵，其中 则AB=_三、计算题16 求 f(x)= 的连续区间、间断点17 设 eyex+x
3、y=0，求 y18 利用函数的单调性证明：方程 sinx=x 有且只有一个实根19 求解微分方程：y+sin(x+y)=sin(xy)20 计算积分：x 2e2xdx21 设方程 0yet+0x2costdt=0 确定了 y 为 x 的函数，求 yx22 求行列式的值：23 求函数 f(x)= 的间断点，并判断其类别四、综合题24 设工厂 A 到铁路线距离为 20 公里，垂足为 B，铁路线上距离 B 100 公里处有一原料供应站 C，现从 BC 间某处 D 向工厂 A 修一条公路，为使从 C 运货到 A 运费最省，问 D 应选在何处? (已知每公里铁路与公路运费之比为 3：5)25 一曲线从原
4、点经过点(1，1)伸向第一象限，曲线从 O(0，0)到 P(x，y)的一段弧与 x 轴及过 P 点平行 y 轴的直线所围面积等于以 OP 为对角线且边分别平行坐标轴的矩形面积的 求该曲线方程全国自考高等数学（工专）模拟试卷 3 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C【试题解析】 x=0 时，f(x)有意义，因此有定义故 f(x)在 x=0 处的右极限不存在2 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=ln( x)，所以 f(x)是奇函数3 【正确答案】 D【试题解析】 f -(0)=
5、f+(0)=4 【正确答案】 A5 【正确答案】 A二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 2 2x【试题解析】 f(x)=x 2，fg(x)=g(x)x 2=(2x)2=22x7 【正确答案】 ln2【试题解析】 由平均值公式 abf(x)dx= =ln(1+x)|01=ln28 【正确答案】 sinxa xln2a【试题解析】 y (n1)=y(n2)=(sinxax+ ) =cosx一 axlna，y (n)=(cosxaxlna) =一 sinx 一 ax(1na)29 【正确答案】 010 【正确答案】 11 【正确答案】 铅直【试题解析】 因为
6、 y 的定义域为 x一 2，故 x2+ln(x+2)=，所以 y 有铅直渐近线 x=一 212 【正确答案】 13 【正确答案】 (1，0，0)【试题解析】 由 A= 知，A 为范德蒙行列式， |A|= (a1 一 a2)( a2 一a3)( a3 一 a1)，又因为 aiaj，ij，i，j=1，2，3，所以 |A|0|A|A|0 ，由克莱姆法则知，x 1= =1，x 2= =0，x 3=0，其中 A1 ，A 2 ，A 1 是分别将 A中的第 1 列，第 2 列，第 3 列换成 b 后所得的行列式的值14 【正确答案】 arctane x+C【试题解析】 15 【正确答案】 【试题解析】 三、
7、计算题16 【正确答案】 由于 在区间(2，1)，(1， 1)，(1，2)内 f(x)为初等函数，f(x)连续，在 x=1 处，左右极限存在但不相等，故 x=一 1 为间断点左、右极限存在但不相等，所以 x=1 为间断点17 【正确答案】 等式两边求导 eyy+e-x+y+xy=0，解得18 【正确答案】 显然有一根 x=0设 f(x)=sinxx，f(x) =cosx10 所以 f(x)单调递减，则 f(x)至多有一个零点 ，使得 f()=0，即 sins=，因此 sinx=x 有且只有一个实根 x=019 【正确答案】 将原方程左端第二项移到右端，然后和差化积得 =2sinycosx，分离
8、变量得 =一 2cosxdx，积分得通解 lntan =一 2sinx+lnC，化简得 y=2arctan(Ce 一 2sinx )20 【正确答案】 21 【正确答案】 按照隐函数求导法则及可变积分上限的定积分的求导，我们有(0yetdt)yyx+(0x2costdt)x2( x2)x=0，即 eyyx+2xcosx2=0，所以 y x=22 【正确答案】 将第二列加到第一列，将第三列加到第二列，将第四列加到第三列得23 【正确答案】 显然 x=0，1 是 f(x)的间断点在 x=l 处，说明 f(x)在 x=1 处左、右极限都不存在，故 x=1属于第二类间断点在 x=0 处 f(x)在 x=0 处左、右极限都存在但不相等，因而 x=0 属于第一类间断点（跳跃间断点)四、综合题24 【正确答案】 作下图，设 BD 为 x 公里，铁路每公里运费为 a，则公路每公里运费为 ，于是总运费为 y=(100-x)a+y=-a+ 得唯一驻点 x=15(0，100)25 【正确答案】 依题意可得 0xydx= xy，两端对x 求导 y= (y+xy)，即 xy=3y，变量分离 所以 lny=3lnx+lnC (C0)即 y=Cx3因为 x=1，y=1，所以 C=1所求曲线为 y=x3 (x0)
