1、全国自考高等数学（工专）模拟试卷 4 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【 】（A）0（B） 3（C）（D）12 是函数 f(x)在点 x=x0 处连续的 【 】（A）必要条件（B）充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件3 设 f (cos2x)一 sin2x，且 f(0)=0，则 f(x)= 【 】（A）x+ x2（B） x x2（C） sin2x（D）cosx cos2x4 一曲线方程通过原点，且曲线上任意点(x，y)处的切线斜率等于 2x+y，则该曲线是 【 】（A）y=e
2、 xx 一 1（B） y=ex 一 1（C） y=2ex 一 x 一 1（D）y=2(e x 一 x 一 1)5 设 则数列a n 【 】（A）发散（B）收敛（C）的敛散性不确定（D）的和为+二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 设函数 y=f(x)的定义域为0，1，则函数 f(sinx)的定义域为_7 设 f(x)= ，则 f(f(x)= _8 设 f(x)= 则 k=_时，f(x)在 x=0 处连续9 设 f(x)= 在(一，+)内连续，则 a=_10 双曲线 y= 在点(1，1) 处的切线方程为_11 若在(a，b)内的曲线弧 y=f(x)是凸的，则曲线必位于其
3、上每一点处切线的_方12 已知函数 f(x)=a2+2x+c 在点 x=1 处取得极值 2，则 a=_，c=_，f(1)为极_值13 已知(1nf(x)=2x1，则 f(x)= _14 设 A 为 44 矩阵，B 为 33 矩阵，且|A|=2，|B|=一 2，则|A|B|=_，|B|A|=_15 设 1， 2， s，是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，若 C11+C22+Css，也是 Ax=b 的一个解，则 C1+C2+Cs=_三、计算题16 判断级数 的敛散性17 利用一阶微分形式不变性及微分运算法则，求 y=ex2sin3x 的微分18 求曲线 的水平渐近线和铅直渐近线19 求曲线 在 t
4、=0 处的切线方程和法线方程20 求不定积分21 求微分方程 y+ y=x2 的通解22 已知矩阵 A 满足关系式 A2+2A 一 3E=O，求(A+4E) -123 求由曲线 及直线 y=x 所围成平面图形的面积四、综合题24 求由抛物线 y=x2 与直线 y=1 围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积全国自考高等数学（工专）模拟试卷 4 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C【试题解析】 当 x1 时，sin(x1)0，x 2+x20，原式属于 型未定式，故可用洛必达
5、法则，则有2 【正确答案】 A【试题解析】 函数 f(x)在点 x0 处连续必须同时满足的三个条件是：f(x)在 x0 点有定义， f(x)存在，f(x 0)与 f(x)相等因此有函数 f(x)在点 x0 处连续可推出：故 是函数 f(x)在点 x=x0 处连续的必要条件又因为函数 f(x)在点 x0 处无定义时，f(x)在点 x0 处间断，故有不能推出 f(x)在点 x0 处连续，因此不是充分条件3 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 f(cos2x)=sin2x，可知 f(cos2x)=1 一 cos2x令 t=cos2x，则有f(t)=1 一 t，积分得 f(t)=t 一 t2+C，又
6、因为 f(0)=0，故 C=0，故 f(x)=x 一 x24 【正确答案】 D【试题解析】 设所求曲线的方程为 y=y(x)，依题意有 =2x+y，y| x=0= 0， y=2x 这是一阶线性微分方程故 y=edx2xedxdx+C= ex(一 2xe-x 一 2e-x+C)=(Cex一 2x2)，由 y|x=0=0，得 C=2故所求曲线的方程为 y=2(ex 一 x 一 1)5 【正确答案】 B二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 2k，(2k+1)【试题解析】 函数 f(x)的定义域为0 ，1，则在f(sinx)中有 0sinx1，故有 2kx(2k
7、+1)7 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x)= ，所以8 【正确答案】 2【试题解析】 f(x)在 x=0 处连续，必有f(0)=k1，故 k=29 【正确答案】 1【试题解析】 f(x)在(一，+) 内连续，则 f(x)在 x=0 处连续，则有所以 a=110 【正确答案】 y1=(x1)【试题解析】 x=1，y=一 1所以在点(1，1)处的切线方程为y1=(x1)11 【正确答案】 下12 【正确答案】 1，1，大【试题解析】 f(x)=ax 2+2x+c，f(x)=2ax+2，f(x) 在其定义域内每一点的导数都存在由函数取得极值的必要条件知 f(1)=0=2a+2，所以 a=一
8、 1，又由 f(1)=2=a+2+c知 c=1，又 f=2a=2，所以 f(1)为极大值13 【正确答案】 e x2x+C14 【正确答案】 16，32【试题解析】 实数 k 与行列式相乘是 k 与行列式中某一行的元素相乘，而实数 k与矩阵相乘却是 k 与矩阵中的每一个元素都相乘，因此若 A 为 nn 阶方阵，k 为实数，则| kA|=k n |A|本题中|A|=2，|B|=一 2，A 为 4 阶方阵， B 为 3 阶方阵所以 |一|A|B|=(一|A|) 3|B|=8|B|=16， |一|B|A|=( 一|B|) 4|A|=16|A|=3215 【正确答案】 1三、计算题16 【正确答案】
9、由于级数 的前 n 项和 sn 为由函数 y=ln(x+1)的图像知极限ln(n+1)不存在，所以极限 sn 不存在，故级数发散而故级数 也发散17 【正确答案】 dy=d(e x2)sin3+ex2d(sin3x) =ex2d(x2)(sin3x)+ ex2(cos3x)d(3x) =ex22xdxsin3x+ ex2(cos3x)3dx =(2xex2sin3x+3ex2cos3x)dx18 【正确答案】 所以曲线没有水平渐近线所以曲线有两条铅直渐近线 x=1，x=319 【正确答案】 当 t=0 时，x=2，y=1故所求切线方程为 y1= (x2)，即 y= x+2法线方程为 y1=2(
10、x2)，即y=2x320 【正确答案】 因为 所以原始=21 【正确答案】 在这个一阶线性非齐次微分方程中，P(x)= ，Q(x)=x 2，根据通解公式可知，原方程的通解为 y=e-P(x)dx(Q(x)eP(x)dxdx+C)所以原方程的通解为22 【正确答案】 设法分解出因子 A+4E，由 A2+2A3E=O，有(A+4E)(A-2E)+8E-3E=O，即(A+4E)(A-2E)=5E ，即(A+4E) =E，得(A+4E) -1=23 【正确答案】 作下图 联立方程 得交点（0，0），（1，1）取 x 为积分变量，所求面积为 或取 y 为积分变量，所求面积为四、综合题24 【正确答案】 曲线 y=x2 与直线 Y 一 1 所围成的平面图形如右图阴影部分所示：则该平面图形绕 y 轴旋转一周所成的体积 V=-11(x2)2dx= x5|-11=
