1、全国自考高等数学（工专）模拟试卷 9 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 函数 f(x)=sin2x+cos2x 在 x=0 处的导数是 【 】（A）1（B） 0（C） 2（D）2cos2x2 f (x0)与 f + (x0)都存在是 f (x0)存在的 【 】（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件3 设函数 y=2x3+3x，则 = 【 】（A）（B） 9（C） 5（D）4 函数 f(x)=xlnx 在区间1，e上使得拉格朗日中值定理成立的是 【 】5 【 】（A
2、）e（B） 2（C） 1（D）0二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 _7 若级数 un 收敛于 s，则 un 收敛于_8 设 y=xsin2x，则 dy=_9 设 y=ex(sinx+cosx)，则 y= _10 设 y=f(x)在 x0 处可导，且在点 x0 处取得极小值，则曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线方程为_11 函数 y=2x3 一 3x2 一 12x+3 在一 2，3上最小值为_12 质点在力 F=3x2+2x 作用下，沿直线从 x=1 移到 x=2，力 F 做功为_13 设矩阵 A= ，则 A1=_14 _15 设 y(n-2)=s
3、inx 一 ax+ ，(a0 ，a1) 则 y(n)=_三、计算题16 设 f(x)在 x=2 处连续，且 f(2)=3，求17 设 求 f(0)18 函数 f(x)=ax3 一 4ax2+b(a0)在一 1，2上的最大值为 3，最小值为一 13，试确定 a，b 的值19 求解微分方程：(x 一 2y)dydx=020 求不定积分21 求定积分22 b1，b 2，b 3 满足什么关系时下列方程组有解？23 设 f(x)在0，+)上二阶可导，并且 f(0)=0，f(x)0证明 g(x)= 在(0，+) 内单调增加四、综合题24 求函数的极值：y= 一 125 求椭圆 与坐标轴所围面积，及椭圆曲线
4、分别绕 x 轴，x 轴旋转一周所成的体积全国自考高等数学（工专）模拟试卷 9 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)=2sin2x+cos2x，则 f(x)=2cos2x2sin2x，故 f(0)=2cos0=22 【正确答案】 B【试题解析】 f(x 0)存在的充要条件是 f(x0)= f+(x0)，而在此题中，并未给出 f(x0)= f+(x0)，所以排除 ACD，而由 f(x0)存在可推出 f(x0)与 f+ (x0)都存在且相等，故选项 B 正确3 【正
5、确答案】 A【试题解析】 由函数 y=2x3+3x 易知当 y=5 时，x=1 ，所以 =(6x2+3)|x=1=9由反函数的求导法则知4 【正确答案】 A5 【正确答案】 C二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 【试题解析】 7 【正确答案】 S u18 【正确答案】 (sin2x+2xcos2x)dx【试题解析】 y=xsin2x，dy=(sin2x+2xcos2x)dx9 【正确答案】 2e xcosx【试题解析】 y=e x(sinx+cosx)， y=e x(sinx+cosx)+ex(cosxsinx) =2excosx10 【正确答案】 y
6、=f(x 0)【试题解析】 由题意可知，切线方程可表示成 yf(x0)=f(x0)(x 一 x0)， 但由于y=f(x)在 x0 处可导，且在点 x0 处取得最小值 f(x 0)=0， 切线方程为 y=f(x 0)11 【正确答案】 17【试题解析】 y=2x 3 一 3x2 一 12x+3， 则 y=6x 2 一 6x 一 12 令 y=6x 2 一 6x 一12=0， 得 x1=2，x 2=一 1 y| x1=2=2834122+3=17， y| x2=一 1=2（1）3112（ 1）+3=10， y| x=一 2=2（2） 33412（2）+3=1， y|x=3=233332123+3=
7、6， 函数的最小值为1712 【正确答案】 1013 【正确答案】 【试题解析】 由题意得 所以 A-1=14 【正确答案】 4cos2x15 【正确答案】 sinxa xln2a三、计算题16 【正确答案】 由于 f(x)在 x=2 处连续，且 f(2)=3，可知必 f(x)=3，从而17 【正确答案】 左、右导数都存在且相等，所以f(0)=018 【正确答案】 f(x)=3ax 2 一 8ax=3ax(x 一 )，驻点为 x=0，x (一 1，2)(舍去)， 因为 a0，所以最大值f(0)=b=3，最小值 f(2)=一 8a+b=一 13，即 a=2，b=3 19 【正确答案】 原方程变形
8、为 x=一 2y (1)如果将 y 看做自变量，x 看做 y的未知函数，则这是一个一阶线性微分方程，既可用通解公式求解，也可以用推出通解公式的常数变易法求解这里我们用常数变易法解之由 x=0 分离变量得 积分得 lnx=y+lnC，从而得齐次方程的通解为 x=Cey 令原方程的通解为 x=u(y)ey，则 =u(y)ey+u(y)ey，代入方程(1)得 u(y)ey+ u(y)eyu(y)ey=一 2y，从而 u(y)=一 2yey，故 u(y)=一 2ye-ydy=2(y+1)e-y+C，因此原方程的通解为x=2(y+1)+Cey20 【正确答案】 21 【正确答案】 22 【正确答案】 对
9、方程组的增广矩阵进行行初等变换23 【正确答案】 因为 令 F(x)=xf(x)一 f(x)，由题设可知，F(x)在0 ，+) 上可导，并且 F(x)=f(x)+xf(x)一 f(x)= xf(x) 0(x0)，因此，F(x)在0， +)上单调增加，从而当 x0 时，F(x)F(0)=0，因此，当 x0 时，因而 g(x)在(0，+)内单调增加四、综合题24 【正确答案】 函数的定义域为(一，0) (0，+)y= ，驻点：x 1=一 2，不可导点：x=0由于 x=0 又是函数的间断点，因此，函数在 x=0 不会有极值，但 x=0 仍要参加分割定义域，否则无法确定 x=2 右边函数的单调性列表我们用第二充分条件验证以上结果 所以 y 在 x=一 2 处取得极小值一225 【正确答案】 由对称性知，所求面积应是第一象限部分面积的 4 倍，即S=40aydx 绕 x 轴旋转一周所成旋转体体积，由对称性，得 V1=20ay2dx= 同理绕 y 轴旋转一周所成旋转体积为 V2= a2b
