1、全国自考（高等数学一）模拟试卷 12 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 y=ln(x+1) 的定义域为（A）(1，+)（B） (1，1（C） (1，1)（D）(1 ，+)2 已知 是 f 的反函数，则 f(2x)的反函数是（A）y= (x)（B） y=2(x)（C） y= (2x)（D）y=2(2x)3 若 =2，则 =（A）3（B） 1/3（C） 2（D）1/24 当 x0 时，下列变量为无穷小量的是（A）sin（B） cos（C）（D）1n(1+x 2)5 设 f(x)= 在 x=0 处可
2、导，则（A）a=1 ，b=0（B） a=0，b 为任意常数（C） a=0，b=0（D）a=1 ，b 为任意常数6 设函数 y=y(x)是由方程 sin(xy) =1 确定的隐函数，则 y(0)=（A）e（B） e1（C） e-1（D）e(1e)7 若 x0 是 f(x)的极值点，则有（A）f(x 0)必定存在，且 f(x 0)=0（B） f(x 0)必定存在，但 f(x 0)不定等于零（C） f(x 0)可能不存在（D）f(x 0)必定不存在8 设 f(x)是连续函数，且 f(t)dt=xcosx，则 f(x)=（A）cosx xsinx（B） cosx+xsinx（C） sinx xcosx
3、（D）sinx+xcosx9 若 f(x)在 a，a 上连续，则 xf(x)+f(x)dx=（A） xf(x)dx（B） xf(x)dx（C） 0（D） f(x)+f(x)dx10 设函数 f(u)连续，区域 D=(x，y) x2+y22y)，则 (xy)dxdy=二、计算题（一）11 求极限12 设 f(x)= 当 a 取什么值时，函数 f(x)在其定义域内连续?13 设 ln =arctan ,求14 计算定积分15 设 z=x2f( )，且 f 可微，求 dz三、计算题（二）16 设函数 f(x)= 且 f(x)在( ，+)内连续，求 a，b 的值17 设 y=arcsin ,求 y18
4、 求 在0，1 上的最大值和最小值19 计算定积分 x2cos2xdx 的值20 方程 sin(xy+z)=xy+z 确定了二元隐函数 z=z(x，y)，求 的值四、应用题21 设函数 f(x)在0，上连续，且 f(x)dx=0， f(x)cosxdx=0，试证明：在(0，)内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f(1)=f(2)=021 过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形D22 求 D 的面积 A；23 求 D 绕直线 x=e 旋转周所得旋转体的体积 V24 求函数 f(x，y)=xy(a xy)的极值25 求曲线 y=2x 2 和直线 y
5、=2x+2 所围成图形的面积全国自考（高等数学一）模拟试卷 12 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 A2 【正确答案】 A【试题解析】 令 y=F(2x)，反解出 x= (y)，互换 x，y 的位置得反函数 y= (x)，选 A3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 D5 【正确答案】 C【试题解析】 由函数 f(x)在 x=0 处可导，知函数在 x=0 处连续 =0 (ax+b)=b，所以 b=0又 f +(0)=0f (0)= =a，所以 a=0.6 【正确答案】
6、D【试题解析】 当 x=0 时，0+lny=1，此时 y=e.对方程两边求导得 cos(xy)?(y+xy) =0，将 x=0，y=e 代入解得 y(0)=e(1e)7 【正确答案】 C【试题解析】 y=x 在 x=0 处取得极小值，但该函数在 x=0 处不可导8 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)= （ f(t)dt）=(xcosx)=cosxxsinx9 【正确答案】 C10 【正确答案】 D【试题解析】 在直角坐标系下， f(xy)dxdy= f(xy)dy故应排除选项 A、B在极坐标系下， 故应选 D二、计算题（一）11 【正确答案】 12 【正确答案】 f(x)在 x3 时是连续
7、函数，因此 f(x)只要在x=3 处连续，就在其定义域内连续因为 =6,f(3)=a，所以只要 a=6，f(x)就在其定义域内连续13 【正确答案】 方程两边对 x 求导得 由此得 .14 【正确答案】 令 =u，则 x= dx= udu当 x=1，1 时，u=3，1原式= (5u 2)du= .15 【正确答案】 因为 =2xf( )yf ( ) 所以 dz三、计算题（二）16 【正确答案】 f(x)= (x2+1)=1， f(x)= 3x+a=a，f(0)=a 若 f(x)在 x=0 处连续，则 ，故 a=1又因为 (x2+1)=2。 =b，f(1)=b，若 f(x)在 x=1 处连续，则
8、 ，故 b=217 【正确答案】 y=18 【正确答案】 令 f(x)= dt，f(x)= 0，x0，1，所以 f(x)在0，1上为增函数，其最小值为 f(0)=0最大值为 f(1)=19 【正确答案】 原式= x2dsin2x= (x2sin2x xsin2xdx)= xsin2xdx= xdcos2x= (xcos2x cos2xdx)= cos2xd2x=20 【正确答案】 令 F(x，y，z)=sin(xy+z) (x y+z)，则 =cos(xy+z)1， =cos(xy+z)+1， cos(xy+z)1所以 =1， =1 故=0四、应用题21 【正确答案】 引入辅助函数 F(x)=
9、 f(t)dt，x 0，则 F (x)=f(x)，F(0)=F()=0，又 0= f(x)cosxdx= cosxdF(x)=F(x)cosx F(x)sinxdx= F(x)sinxdx，因此，必存在点 (0，)，使 F()sin=0，否则 F(x)sinx 在(0，)内恒正或恒负，均与F(x)sinxdx=0 矛盾，因 (0，) ，sin0 ，所以 F()=0综上所述，F(0)=F()=F()=0， (0，)在区间0，和 ，上分别对 F(x)应用罗尔定理，知存在1(0， )和 2(，)，使得 F( 1)=F( 2)=0，即 f(2)=f(2)=022 【正确答案】 设切点横坐标为 x0，则
10、曲线 y=lnx 在点(x0，lnx 0)处的切线方程是 y=lnx0+ (xx 0)由该切线过原点知 lnx01=0，从而x0=e，所以该切线的方程是 y= x，从而 D 的面积 A= (eyey)dy= 1.23 【正确答案】 切线 y= x 与 x 轴及直线 x=e 围成的三角形绕直线 x=e 旋转旋转所得的旋转体体积为 V1= e2.曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 围成的图形绕直线 x=e旋转所得的旋转体体积为 V2= (ee y)2dy=( )因此，所求体积为V=V1V 2= (5e212e+3)24 【正确答案】 由 得驻点(0，0)(0，a)，(a，0)，( )A=f xx=2y，B=f xy=a2x2y，C=f yy=2x对四个驻点分别计算ACB2，易知 (0，0)，(0，a) ，(a，0)处都有 ACB20，故都不是极值点，而()处 ACB2= 0，A= 2y= a，所以当 a0 时，函数在此点取得极小值 ,当 a0 时，函数在此点取得极大值 .25 【正确答案】 曲线 y=2x 2 和直线 y=2x+2 的交点满足方程组 解得交点为(2 ，2)，(0，2)故平面图形面积为： S= dxdy= (2x 2)(2x+2)dx=(x 22x)dx=( x 2) .
