1、全国自考（高等数学一）模拟试卷 17 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 在区间(0 ，+)内，下列函数是无界函数的为（A）y=e -x2（B） y=（C） y=sinx（D）y=xsinx2 设 f(x)= ,在点 x=0 处连续，则 a=（A）0（B） 1（C） 1（D）3 函数 f(x)= ，则 x=3 是函数 f(x)的（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）第二类间断点4 设函数 f(x)对任意 x 均满足等式 f(x+1)=af(x)，且 f(0)=b，其中 a，b 为非零
2、常数，则（A）f(x)在 x=1 处不可导（B） f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=a（C） f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=b（D）f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=ab5 设 y=6x+k 是曲线 y=3x26x+13 的条切线，则 k=（A）1（B） 2（C） 1（D）26 函数 f(x)=x33x 2+2 在区间1，1上的最大值是（A）2（B） 0（C） 2（D）47 设收益函数 R(x)=150x001x 2(元)，产量 x=100 时的边际收益是（A）148 元（B） 149 元（C） 150 元（D）100 元8 微分方程 2ydydx=0 的通解为（A
3、）yx 2=C（B） y2x=C（C） y2x 2=C（D）y2x=C9 下列定积分中，其值为零的是 10 二次积分 f(x，y)dy=二、计算题（一）11 设 f(x)= 求 f(f(x)的表达式12 设 f(x)= 要使 f(x)在( ，+)内连续，求 a 的值13 求曲线 y=xlnxx 在 x=e 处的切线方程14 设 求15 求定积分 的值三、计算题（二）16 设函数 f(x)与 g(x)的定义域是 xR 且 x1，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)= ，求 f(x)和 g(x)的解析式17 设 x0 时，( e x)与 xk 是同阶无穷小，求 k 的值18 设
4、 f(x)= ,求函数 f(x)的间断点，并说明间断点的类型19 求曲线 y=x3+3x25 上过点 (1，3)处的切线方程和法线方程20 设 f(x)在 x=1 处有连续的阶导数，且 f(1)=2，求： (cosx1) 四、应用题21 证明方程 4x=2x 至少有个正根22 设 a 为实数，函数 f(x)=x3x 2x+a，求 f(x)的极值23 求个不恒等于零的连续函数 f(x)，使它满足 f2(x)=24 设 D 是 xOy 平面上由直线 x=2，y=x ，与 xy=l 所围成的区域，求 dxdy全国自考（高等数学一）模拟试卷 17 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有
5、一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 D2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处连续，即 =e0=1= =2a，故 a=3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 =所以 f(x)在 x=3 处间断，且 x=3 是 f(x)的第二类间断点.4 【正确答案】 D【试题解析】 f(1) =af(0)=ab5 【正确答案】 A【试题解析】 因为 y 在某点处的切线斜率为 6，且 y=6x6，所以6x6=6 ，x=2y(2)=3412+13=13 故 y13=6(x2)，即 y=6x+1，所以 k=16 【正确答案】 C【试题解
6、析】 f(x)=3x 2 6x=3x(x2)，令 f(x)=0 可得 x=0 或 2(2 舍去)，当1x0 时，f(x)0，当 07 【正确答案】 A【试题解析】 R(x)=150002x，当 x=100 时， R(100)=150 2=148(元)8 【正确答案】 B【试题解析】 由题意得：2ydy=dx，方程两边积分 ,即 y2=x+C，故选 B9 【正确答案】 D10 【正确答案】 D二、计算题（一）11 【正确答案】 f(f(x)12 【正确答案】 x0 时，f(x)=xsin 是初等函数，连续x 2 是初等函数，连续在x=0 处， (a+x2)=a， =0，f(0)=a，则当=f(0
7、)即 a=0 时，函数 f(x)在 x=0 处连续因此，当 a=0 时，f(x)在(， +)内连续13 【正确答案】 因为 f(e)=(1nx+1 1) =1,所以切线方程为 y=01(xe),即yx+e=014 【正确答案】 故15 【正确答案】 三、计算题（二）16 【正确答案】 因为 f(x)是偶函数，g(x) 是奇函数，所以 f(x)=f(x)，且 g(x)=g(x) 而 f(x)+g(x)= ，得 f(x)+g(x)= 即 f(x)g(x)= = 所以 f(x)=,g(x)=17 【正确答案】 当 x0 时，e xcosx2e x=ex( 1)e x?(xcosx2x)=xe x?(
8、1cosx 2)xe x? (x2)2= ex?x5因为 所以当 x0 时，若(e xcosx2e x)与 xk 是同阶无穷小，则 k=518 【正确答案】 在点 x=1 处 =ln2因为，所以 x=1 是函数的第类间断点(跳跃间断点)19 【正确答案】 由于 y=3x 2+6x，于是所求切线斜率为 k1=(3x2+6x)x=-1=3。从而所求切线方程为 y+3=3(x+1)，即 3x+y+6=0又法线斜率为 k2= 所以所求法线方程为 y+3= (x+1)，即 x3y8=0 20 【正确答案】 (cosx1)四、应用题21 【正确答案】 设函数 F(x)=4x2 x，可知 F(x)在 上连续
9、，且 F(0)=1 )=220由闭区间上连续函数的零点定理，可知至少存在点 (0, )使得 F()=0所以方程 4x=2x 在(0, )上至少存在个根 ，显然 为正根所以原方程至少存在个正根22 【正确答案】 显然，f(x)=3x 22x1若 f(x)=0 ，则 x= ，x=1 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： 所以 f(x)的极大值是 f( )= +a,极小值是 f(1)=a123 【正确答案】 对题中等式两边求导得：2f(x)f(x)=f(x) 即 f(x)?(2f(x) )=0因为 f(x)是不恒等于零的连续函数，故 f(x)= 两边积分得：f(x)= 1n(2+cosx)+C在 f2(x)= dt 中令 x=0，得 f(0)=0，代入上式有 C= 1n3故 f(x)= ln(2+cosx)+ ln324 【正确答案】
