1、全国自考（高等数学一）模拟试卷 1 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 下列函数中在(0，+)内单调减少的是（A）y=log ax，0a 1（B） y=sinx+cosx（C） y=arctanx（D）y=lnx2 设 f(x+2)=x22x+3，则 f(2)=（A）3（B） 0（C） 1（D）23 设 xx 0 时，f(x)和 g(x)都是无穷小量，则下列结论中不一定正确的是（A）f(x)+g(x)是无穷小量（B） f(x)g(x)是无穷小量（C） f(x)g(x)是无穷小量（D） 是无穷小量
2、4 函数 f(x)= 的间断点个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）35 设 y= ，则 dy=6 =A(或)是使用洛必达法则计算未定式 的（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）无关条件7 设某产品的需求量 Q 与价格 p 的函数关系为 Q= ，则边际收益函数为8 （A）cotr+tanr+C（B） cotrtanx+C（C） 2cot2x+C（D）2cot2x+C9 10 设 z=ln(ex+ey) ，则二、计算题（一）11 设 f(x)=ln(3+x)，求 f(x+1)f(x1)12 13 已知 ，求 y及 y“14 求出函数 f(x)=3x 在区间1，2上的最大值与最小值
3、15 计算定积分三、计算题（二）16 设 f(x)=17 求曲线 y=e2 上的一点(x，y)，使过该点的切线与直线 y=2x 平行18 设 f(x)= ，求 f(n)(0)19 某商品的需求函数为 Q=1005P，其中 Q 为需求量，P 为价格，求需求的价格弹性函数，并求 P=10 时的价格弹性20 四、应用题21 设某产品的单位成本 y 是产量 x 的函数，即 y=x+4+ ，若产品以每件 1000元的价格销售，求产量为多少时利润最大？最大利润是多少？22 生产某商品 x 个的边际成本为 5(万元/个)，固定成本 C0=200(万元)，得到的收益为 R(x) =10x001x 2(万元 )
4、问生产多少个商品时的利润最大？最大值是多少？23 某公司生产某产品的边际成本为 MC(Q)=1(万元/ 百台)，边际收益为 MR=7Q(万元/百台)，设固定成本为零求：(1)得到最大利润时的产量；(2)在利润最大时的产量基础上又生产了 50 台，总利润减少了多少？24 设某种产品的产量是劳动力 x 和原料 y 的函数：f(x，y)= ，假设每单位劳动力花费 50 元，每单位原料花费 100 元，现有 20000 元资金用于生产，应如何安排劳动力和原料，才能得到最多的产品？全国自考（高等数学一）模拟试卷 1 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填
5、写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 y=sinx+cosx 是周期函数，在(0，+) 内不是单调的，故不选B；选项 A 中 y=logax， 0a1 且 ay=x，当 y 越大， x 越小，即 y 随 x 的增大而减少2 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(x+2)=x22x+3=(x+22)22 (x+22)+3，故 f(x)=(x2)22(x2)+3=x26x+11，f(2)=3，ff(2)=f(3)= 3263+11=23 【正确答案】 C【试题解析】 根据极限的运算法则知 f(x)+g(x)，f(x)g(x)仍是无穷小量， f(x)=04
6、 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查函数间断点的定义f(x)在 x=0，x=1 时不连续，间断点个数为 25 【正确答案】 B【试题解析】 6 【正确答案】 A【试题解析】 由 =A，可使用洛必达法则算得 =A反之不成立，如：不存在7 【正确答案】 C【试题解析】 总收益函数 R=pQ= ，故边际收益函数为8 【正确答案】 C【试题解析】 先用三角公式变形，再用基本积分公式 =sec2xdx +sec2xdx = tanxcotx+C=2cot2x+C9 【正确答案】 C【试题解析】 10 【正确答案】 B【试题解析】 二、计算题（一）11 【正确答案】 f(x+1)=ln(3+x+1)=
7、ln(4+x)，f (x1)=ln(3+xl)=ln(2+x)，故 f(x+1)f(x1)=ln(4+x)ln(2+x)=12 【正确答案】 13 【正确答案】 14 【正确答案】 f(x)=一 1+ 令 f(x)=0，得 x=0f(一 1)=0，f(2)= ，f(0)=2，最大值为 2，最小值为 015 【正确答案】 三、计算题（二）16 【正确答案】 在点 x=0 处，因为 f(0+0)= (ex+3)=4，f(0+0)= (2x2+4)=4，所以 f(x)=4在点 x=2 处，f(2+0)= (2+x)2=16f(20)= (ex+3)=e2+3，因为 f(2+0)f(20)，所以 不存
8、在17 【正确答案】 直线 y=2x 的斜率为 2曲线 y=ex 在 x 处切线的斜率为 y=ex，两直线平行要求它们的斜率相等，即有 ex=2解得 x=ln2，代入方程得 y=eln2=218 【正确答案】 f(x)=ln(1+x)，f(x)= =一(1+x) 1f“(x)= 一(一 1)(1+x)2，f“(x)=一(一 1)(一 2)(1+x)3，f (n) (x)=一(一 1)(一 2)(一 n+1)(1+x)n 故 f(n)(0)=(一 1)n(n1)!19 【正确答案】 需求函数表示商品的需求量与价格之间的关系，需求的价格弹性反映需求量的变动对价格变动的敏感程度，设 为需求的价格弹性
9、，则需求的价格弹性函数为： 当 P=10 时， 结果说明，当商品的价格在 P=10 的基础上上升 1时，人们对它的购买量就会下降 120 【正确答案】 四、应用题21 【正确答案】 利润函数 L(x)=R(x)C(x)=1000xx(x+4+ )=一 x2+996x16令 L(x)=一 2x+996=0得 x=498又 L“=20，所以 x=498 时利润最大，最大利润为 L(498)=247988(元)22 【正确答案】 求出成本函数，利润函数=收益函数一成本函数，并求其最大值点、最大值， 成本函数 C(x)=5x+200， 已知 收益函数 R(x)=10x001x 2， 于是 利润函数 L
10、(x)=R(x)C(x)=一 001x 2+ 5x200， 因 L(z)=一 002x+5 ，令 L(x)=0 得惟一驻点 x=250 又 L“(x)=0020， 故当 x=250 时 L 取惟一极大值也是最大值，即最大利润为001250 2+5250200 = 42s(万元)23 【正确答案】 (1)总利润= 总收益一总成本，即 Tn(Q)=TR(Q)TC(Q)，TR(Q)=MRdQ=(7Q)dQ=7Q Qn+C，又由 Q=0 时，TR=0，C=0， TR(Q)=7QQn总成本 TC(Q)=MCdQ=1dQ=Q+C固定成本为 0，即 TC=0，故 C=0，从而 TC(Q)=Q，故 Tn(Q)=7Q QnQ=6Q Qn，T n(Q)=6Q令 Tn(Q)=0，即 6Q=0，Q=6，又 Tn(Q)=10，故 Q=6 时为极大值点，由问题的实际意义，当 Q=6(百台)时，总利润最大最大利润为 Tn(6)=66 6 2=18(万元)(2)在产量为 6 百台的基础上又生产了 50 台，即共生产了 650 台，此时利润为Tn(65) = 665 652 = 17875，所以总利润下降了 1817875=0 125(万元)24 【正确答案】 约束条件为：50x+100y=20000，化简为：x=4002y，代入f(x，y)得 所以 y=100，x=200 时产量最高
