1、全国自考（高等数学一）模拟试卷 2 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 已知 f(x)的定义域是0，3a，则 f(x+a)+f(xa)的定义域是（A）a，3a（B） a，2a（C） a， 4a（D）0 ，2a2 设函数 g(x)=1+x，且当 x0 时，fg(x)= ，则 f( )的值是（A）0（B） 1（C） 3（D）33 下列各式中，极限存在且有界的是4 设 0a（A）0（B） 1（C）不存在（D）5 曲线 y= 在 x=1 的切线方程是（A）3y2x=5（B） 3y+2x=5（C） 3y+
2、2x=5（D）3y+2x= 56 y=ef(x)，其中 f(x)具有二阶导函数，则 y“=（A）e f(x)（B） ef(x)f“(x)（C） ef(x)(f(x) 2+f“(x)（D）e f(x)f(x)+f“(x)7 函数 y=x3+4 在区间( 1，1)内是（A）凹的（B）凸的（C）既有凹又有凸（D）直线段8 若f (x) dx=x+C，则xf (1x 2)dx=（A）2(1 x2)+C（B） 2(1x2)+C（C） (1x2)+C（D） (1x2)+C9 极限（A）1（B） 0（C） 1（D）210 设 z=sin(x2y2)，则（A）sin(x 2y2)（B） sin(x2y2)（C
3、） 4x2sin(x2y2)（D）4x 2sin(x2y2) +2cos(x2y2)二、计算题（一）11 求函数 f(x)=arcsin +ln(x+2)的定义域12 讨论 f(x)= 在 x=1 点的连续性13 已知 y=acos 2 ，求 y14 求函数 y= 的极值及对应曲线的拐点15 计算定积分 I=0(1sin3x)dx三、计算题（二）16 设 f(x+2) =x22x+3，求 ff(2)17 设 y=cos2xlnx，求 y“18 求曲线 f(x)=(x+1)+ 的水平渐近线19 设 f(2x+1)=xex，求 35f(t)dt20 求 ，其中 D 是由 y= 和 x 轴所围成的区
4、域四、应用题21 某工厂某种产品年产量为 a 吨，分若干批进行生产，设生产每批需要固定支出1000 元，而每批生产直接消耗的费用(不包括固定支出)是产品数量的平方的一半，试问：每批生产多少吨时，才能使总费用最少？22 设某厂生产的某种产品固定成本为 200(百元)，每生产 1 个单位商品，成本增加5(百元 )，且已知需求函数为 Q=1002p，其中 p 为价格，Q 为产量这种商品在市场上是畅销的(1)试分别列出商品的总成本函数 C(p)及总收益函数 R(p)；(2)求出使该商品的总利润最大时的产量；(3)求最大利润23 某厂每批生产某产品 x 单位时的边际成本为 5(元/ 单位)，边际收益为
5、10002x( 元/ 单位) ，当生产 10 单位产品时总成本为 250 元，问每批生产多少单位产品时利润最大？并求出最大利润24 企业用两种原料甲和乙来生产某产品，甲、乙原料的价格分别为每千克 2 万元、1 万元，该产品的产量和原料甲、乙投入量之间的关系为 z=20x2+10x2y2+5y，其中 x、y 分别为甲、乙的投入量，z 为产品产量设产品的价格为每千克 5 万元，试确定原料甲、乙的投入量为多少时使利润最大(成本只计甲、乙原料的投入)全国自考（高等数学一）模拟试卷 2 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或
6、未选均无分。1 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)的定义域是0，3a ， 即：ax2a，f（x+a ）+f(x-a) 的定义域是a ，2a.2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 x一，e x0，|sinx|1， exsinx=0，其他三个函数在指定过程中极限不存在4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 a 在函数 的定义域内，所以 x=a 时 连续，于是极限值就是函数值，5 【正确答案】 C【试题解析】 所以所求切线方程为 y 一 1= (x1)，即 3y+2x=56 【正确答案】 C【试题解析】 y=e f(x)f(x)，y“=e f(x)f(x)f(x)+
7、ef(x)f“(x)=ef(x)(f(x)2+f“(x)7 【正确答案】 C【试题解析】 y=3x 2，y“=6x，当 x(1，0)时，y“ 0；当 x(0，1)时，y“0，故在( 1，1)内曲线 y=x3+4 既有凸又有凹8 【正确答案】 D【试题解析】 xf(1x 2)dx= (一 2x)f(1x2)dx= f(1 一 x2)d(1x2)= (1一 x2)+C9 【正确答案】 C【试题解析】 根据洛必达法则，知10 【正确答案】 D【试题解析】 =2xcos (x2y2)， =2cos(x2y2)一 4x2 sin(x2 一 y2)二、计算题（一）11 【正确答案】 要使函数 f(x)有意
8、义，必须使 解之，得 故 f(x)的定义域为一 1， 312 【正确答案】 所给函数是个分段函数，x=1 点是 f(z)的分段点，f(x)在 x=1 点处及其附近有定义，但是 故 f(x)在 x=1 点处无极限，从而 f(x)在 x=1 点处不连续13 【正确答案】 y=acos 2 可以看成由 y=au2， u=cos，= 三个函数复合而成的函数，由复合函数求导法则，得到14 【正确答案】 令 y=0，得驻点 x=1 x=1 为极大值点，极大值为y|x=1= 令 y“=0，得 x=0，x=2当 x(一 ，0)时， y“0；当 x(0，2)时，y“ 0；当 x(2，+)时，y“ 0，拐点为15
9、 【正确答案】 I=+ 0(1cos2x)dcosx=+(cosx cos3x)|0=三、计算题（二）16 【正确答案】 因为 f(x+2)=x22x+3 =(x+2)一 222(x+2)一 2+3， f(x)=(x2)22(x2)+3=x26x+11， 于是 f(2)=3，从而 ff(2)=f(3)=3263+11=217 【正确答案】 18 【正确答案】 所以 y=一 1 是曲线的水平渐近线19 【正确答案】 设 t=2x+1，则 dt=d(2x+1)=2dx，并且时 t 从 35，x 从 12，所以 35f(t)dt=12f(2x+1)2dx=2 12xexdx =212xd(ex)=2
10、xex12exdx =22e2eex|12= 2e220 【正确答案】 D 如右图所示边界方程 y= 在极坐标下为 r=2cos，被积函数 于是有四、应用题21 【正确答案】 设每批生产 x 吨，则分 批22 【正确答案】 (1)总成本 C(p)等于可变成本与固定成本之和，总收益函数 R(p)为价格与销售量的乘积，故 C(p)=5(1002p)+200=70010p，R(p)=p(1002p)=100p2p2 (2)设总利润函数为 L(p)，则 L(p)=R(p)C(p)=100p2p2 一(70010p)=一 2p2+110p 一 700L(p)=一 4p+110，令 L(p)=0，得4p+
11、110=0，解得 p=，L“(p)=40，故 为 L(p)的最大值当总利润最大时，产量 Q=(1002p) =10055=45(单位)(3)最大利润为 =(一 2p2+110p700)=8125(百元)23 【正确答案】 (1)边际利润 L(x)=R(x)C(x)=(10002x)5=5002x 令L(x)=0，得 x=250(单位)又 L“(x)=0020，故每批生产该产品 250 个单位时利润最大 (2)总成本函数 C(x)=0x5dt+C0=5x+C0 由 C(10)=250，知 C0=200(元) 总利益函数： R(x)= 0x(10002t)dt =10x001x 2， 总利润函数： L(z)=R(x)一C(x) =5x001x 2=200 故 L(250)=425(元)24 【正确答案】 生产成本为 C=2x+y，产品的销售收入为 R=5z=5(20x2+10x2y2+5y) =1005x2+50x10y2+25y 因此，利润函数为 =RC=1005x2+48x10y2+24y求解下列方程组 得到驻点(48，12)，因为 B2 一 AC=一2000，所以利润函数在点(48，12)处有最大值：(48，12)=2296(万元)
