1、全国自考（高等数学一）模拟试卷 4 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设 f(x)是定义在实数域上的一个函数，且 f(x1)=x2+x+1，则2 =3，则 k=（A）3（B） 2（C） 3（D）23 （A）0（B）（C）（D）4 已知函数 则 f(x)在 x=0 处（A）间断（B）导数不存在（C）导数 f(0)=1（D）导数 f(0)=15 已知 f(x)=sin(2x)+ ，那么 f(x)的微分 df(x)=6 函数 y=sinxx 在区间0， 上的最大值是（A）（B） 0（C） （D）7
2、8 微分方程 y+ 的通解是9 10 设 D 是由直线 y=x，y=0，x=1 所围成的平面区域，则 dxdy=（A） 01dx0xdy（B） 01dxx0dy（C） 01dyxydx（D） 01dx0ydy二、计算题（一）11 12 设 y=arcsin ，求 y13 14 求微分方程 的通解15 计算二次积分：三、计算题（二）16 设 g(x) =x24，求 fg(x)17 y=xnsin ，求 y18 讨论需求曲线 D=4b33bP2+P3(b0)的单调性、凹凸性和拐点19 设 求 02f(x1)dx20 计算二重积分 dxdy，其中 D 是由抛物线 y2= 和直线 x+2y=4 围成的
3、平面区域四、应用题21 设某商品的平均成本为 AC=a0+a1Q3a2Q2(a0，a 1，a 2 均为大于 0 的常数，Q 为产量) (1)求平均成本的极小值； (2) 求总成本曲线的拐点22 某商品的价格 P 作为需求量 Q 的函数为 P=5 求：(1)总收益函数、平均收益函数和边际收益函数；(2)当 Q=10 个单位时的总收益、平均收益和边际收益23 设由曲线 y=x2+ax(a0)，y=0 ，x=1 所围成的有界区域绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 ，求 a24 从斜边之长为 L 的一切直角三角形中求有最大周长的直角三角形全国自考（高等数学一）模拟试卷 4 答案与解析一、单项选择题在
4、每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 D【试题解析】 f(x1)=(x 1)2+3(x1)+3， f(x)=x2+3x+3，2 【正确答案】 A【试题解析】 k=33 【正确答案】 C【试题解析】 当 x0 时，1cosx x2，从而，4 【正确答案】 C【试题解析】 由条件，f(0)=1， (0)= (ex)=1，故 f(0)=一 15 【正确答案】 A【试题解析】 用复合函数求导法则求导，f(x)=cos(2x)2+ 2x，df(x)=f(x) dx=2cos(2x)+ dx6 【正确答案】 B【试题解析】
5、 因为 y=cosx1 在(0，) 内小于零，故 y 在0， 上严格单凋下降，所以函数在 x=0 处取得最大值，y=07 【正确答案】 C【试题解析】 8 【正确答案】 B【试题解析】 由通解公式，通解9 【正确答案】 D【试题解析】 10 【正确答案】 A【试题解析】 根据二重积分与二次积分的转换， D=(x，y)|0yx，0x1，如右图所示， dxdy=01dx0xdy二、计算题（一）11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 该二次积分的积分域 D 为圆心在原点 (0，0)，半径为 a 的圆位于第一象限的部分，其图形如下图所示，化为
6、极坐标得三、计算题（二）16 【正确答案】 当 x240，即2x2 时，fg(x)=f(x 24)=(x24+1)2=(x23)2；当 x240，即 x2 或 x一 2 时，fg(x)=f(x 24)=x24+4=x2，故 fg(x)=17 【正确答案】 18 【正确答案】 (1)D=一 6bP+3P2=0，P=2b P2b 时，D0，函数递减，P2b 时，D0，函数递增 (2)D“=6P6b=0，P=b P b 时，D“0，曲线是凸的，Pb 时， D“0，曲线是凹的 (3) 当 P=b 时，D(b)=4b 33b3+b3=2b3，拐点为(6， 2b3)19 【正确答案】 设 x1=t，则 d
7、x=dt，x=0 时，t=一 1；x=2 时，t=1，所以 01f(x一 1)dx=11f(t)dt=10 +01sinxdx=ln(2x)|01cosx|01=(ln2ln3)cos1+1=1cos1ln2+ln320 【正确答案】 求交点 得(8，一 2)，(2，1) =21(44y3y2+2y3+y4)dy四、应用题21 【正确答案】 (1)AC(Q)=3a 1Q22a2Q，令 AC(Q)=0，得到 Q1= Q2=0(舍去)因为 AC“(Q1)=2a20，所以 AC(Q1)为极小值，极小值 AC(Q1)=a0 (2)总成本曲线方程为 TC=ACQ=a 0Q+a1Q4 一 a2Q3，TC=
8、a 0+4a1Q33a2Q2，TC“=12a 1Q26a2Q令 TC“=0，得到 Q1= ，Q 2=0(舍去)曲线拐点为22 【正确答案】 (1)总收益函数 R=QP= 平均收益函数 边际收益函数为：R=5 一 (2)R(10)= R(10)=5 .10=323 【正确答案】 本题为定积分的应用y=x 2+ax 与 x 轴(y=0)的交点为 x1=a，x 2=0，因为 x1=a 小于 0，故所围区域在0，1上，所以 Vx=01(x2+ax)2dx=01(x4+ 2ax3+a2x2)dx 解得 a=0， (舍去)24 【正确答案】 设直角三角形的二直角边长分别为 x 和 y，则有周长 P： P=L+x+y(0xL，0yL)，条件函数为 L2=x2+y2，令 F(x，y，)=L+x+y+(x2+y2 一 L2)， x=y，代入 x2+y2= L2 中，得 x=y= 合理驻点只有一个，根据实际意义，一定存在最大周长，所以 x=y= 时，即斜边长不变时，等腰直角三角形的周长最大
