1、全国自考（高等数学一）模拟试卷 6 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设 ，则 f1(x)= （A）x1（B） x+1（C） x1（D）x+12 （A）1（B） 0（C） （D）23 当 x时， 等价，则 k= （A）1（B） 0（C） 2（D）34 设函数 f(x)在 x=a 处可导，且 =1，则 f(a)=（A）（B） 5（C） 2（D）5 设 y= ，则 dy=6 设函数 f(x)=(x1) ，则点 x=1 是 f(x)的（A）间断点（B）可微点（C）驻点（D）极值点7 若 lnx(x0
2、) 是函数 f(x)的原函数，那么 f(x)的另一个原函数是（A）ln(ax)(a0，x0)（B） lnx (x0)（C） ln(x+a)(x+a0)（D） (lnx)2(x0)8 微分方程 y=ex2y 的通解是 y=（A） ln(2ex+C)（B） ln(2ex+C)（C） ln(ex+C)（D）ln(e x+C)9 （A）1（B） ex（C） yex（D）y10 若 D=(x， y)|2x2，0y1 ，则二重积分 f(x，y) dxdy=（A）2 02dx01f(x，y)dy（B） 220dx02f(x，y)dy（C） 22dx01f(x，y)dy（D） 22dx11f(x，y)dy二、
3、计算题（一）11 求极限 (1sinx) cotx12 设 y=ln(cscxcotx)，求 y13 求极限14 求不定积分15 已知 z=u2=u2，且 u=xcosy，=xsiny，求三、计算题（二）16 讨论 的连续性17 设 0|x|1，求 y18 求 (a0，n 为正整数 )19 设 I1=01exdx，I 2=01 ，试比较 I1 与 I2 的大小20 设函数 z=z(x，y)由方程 =2e2 确定，求四、应用题21 已知汽车行驶时每小时的耗油费用 y(元)与行驶速度 x(公里/ 小时)的关系为 y=x3，若汽车行驶时除耗油外的其他费用为每小时 100 元，求最经济的行驶速度22
4、设某产品的需求函数为 Q=402P，又生产 Q 件时的平均成本为 求：(1)Q=10 时的边际收入；(2)Q=10 时的需求价格弹性；(3)边际利润为零时的总产量与利润额23 求曲线 y=ex，y=e x 和直线 x=1 所围成平面图形的面积 A 以及其绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 Vx24 从直径为 d 的圆形树干中切出横断面为矩形的梁，此矩形的长为 b，宽为 h，若梁的强度 f(b) =bh2，问梁的横断尺寸应如何设计可使其强度最大？并求出最大强度全国自考（高等数学一）模拟试卷 6 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内
5、。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)=1+x=y，得 x=y1，故反函数 f1(x)=x12 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 x时， 通过观察可发现只有 k=2 时才能使上述极限成立，4 【正确答案】 A【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 6 【正确答案】 D【试题解析】 因为连续函数的极值点必是函数的驻点或不可导点，故由此来判断x=1 是 f(x)= 的极值点7 【正确答案】 A【试题解析】 (lnx)= ln(ax)也是 f(x)的原函数8 【正确答案】 A【试题解析】 y=e x2y， e2ydy=exdx，e
6、2ydy =exdx 即 e2y=ex+C1，化简得 y= ln(2ex+C)9 【正确答案】 C【试题解析】 x= lnz=x+lny，即 z=ex+lny=yex， =yex10 【正确答案】 C【试题解析】 由二重积分的性质得 f(x，y)dxdy= 22dx01f(x，y)dy二、计算题（一）11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 三、计算题（二）16 【正确答案】 由条件 知 f(x)在( 一，1)，(1，3)，(3，+)内连续，因此只需讨论 f(x)在 x=1，x=3 点处的连续性当 x=1 时，f(1+0)=4，f(10
7、)=6，f(x) 在x=1 处间断，当 x=3 时， f(3+0)=6，f(3 0)=6，又 f(3)=6，所以 f(x)在 x=3 处连续，故 f(x)的连续区间为(，1)(1，+) 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 I 1=01exdx= e1，令 t= ，I 2= 201tetdt=201tde = 2(tet01 一 01etdt) = 2，所以 I1I 2.20 【正确答案】 本题考查隐函数的求导法则四、应用题21 【正确答案】 设行驶 a 公里，则行驶时间为 ，总费用为 当 x=50 时，S=0，S“= 最经济的速度为 50 公里/小时22 【正确答案】
8、(1)收益函数 R(Q)=QP= R(Q)=20Q，所以 Q=10 时的边际收益为 R/(10)=10(2)由于 P=20 所以 Q=10 时的价格为 P=15，需求价格弹性为 所以 Q=10 时的需求价格弹性为 |P=15= |P=15=3(3)由于 +4，所以C(Q)=20+4Q，利润函数为 L(Q)=R(Q)一 C(Q)=(20Q Q2)(20+4Q)= Q2+16Q20，边际利润为 L(Q) =Q+16，L=0 得 Q=16，边际利润为零时的产量为 Q=16，此时的总利润为 L(16)=10823 【正确答案】 本题为定积分的应用平面图形如下图所示 A=01(ex 一 ex)dx=(ex+ex)01=e+e12，V x 为 y=ex 与 yex 旋转所得旋转体体积之差，即Vx=01(ex)2dx01(ex)2dx =01(e2xe2x) dx= (e2x+ e2x)|01= (e2+e22)24 【正确答案】 d 2=b2+h2，h 2=d2b2，f(b)=bh 2=b(d2b2)，f(b)=d 23b2当 b=时，f(b)=0，f“(b)=一 6b0， 为最大值
