1、全国自考（高等数学一）模拟试卷 7 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设函数 f(x)在a，a(a0)上是偶函数，则 f(x)在a，a 上是（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）可能是奇函数，也可能是偶函数2 （A）1（B） 2（C） 0（D）13 当 x+时，下列变量中为无穷大量的是（A）e 1+x（B）（C） 2x+1（D）xsinx4 曲线 y=2x2+3x26 上点 M 处的切线斜率为 15，则点 M 的坐标是（A）(3 ，15)（B） (3，1)（C） (3，15)（D）(
2、一 3，1)5 f(x)=arctanx2，则 f(x0)=6 函数 y=ax2+c 在区间(0 ， +)内单调减少，则 a，c 应满足（A）a0 且 c=0（B） a0 且 c 为任意实数（C） a0 且 c0（D）a0 且 c 为任意实数7 设某商品的需求函数为 Q=abp，其中 p 表示商品价格，Q 为需求量，a ，b 为正常数，则需求量对价格的弹性8 9 下列反常积分中，发散的是10 设 =(x，y)是由方程 x= 确定的隐函数，则（A）1（B） ex（C） yex（D）y二、计算题（一）11 求极限12 求双曲线 =1 上的点(x 0，y 0)处的切线方程13 14 求不定积分15
3、已知 z=yx三、计算题（二）16 讨论下列函数在给定的定义域上是否存在最大(小)值(1)y=x，x(1，1)17 18 设函数 y=ax3+bx2+cx+2 在 x=0 处取得极值，且其图形上有拐点(1，4)，求常数 a，b，c 的值19 求 02e2xcosxdx 的值20 设区域 D：x 2+y2a2(a0)，求 a 的值，使四、应用题21 设某厂某产品的需求函数为 Q=116=2P，其中 P(万元) 为每吨产品的销售价格，Q(吨 )为需求量若生产该产品的固定成本为 100(万元)，且每多生产 1 吨产品，成本增加 2(万元) 在产销平衡的情况下：(1)求收益 R 与销售价格 P 的函数
4、关系 R(P)；(2)求成本 C 与销售价格 P 的函数关系 C(P)；(3)试问如何定价，才能使工厂获得的利润最大？最大利润是多少？22 在抛物线 y=x2(第一象限部分，且 x8)上求一点，使过该点的切线与直线y=0，x=8 相交所围成的三角形的面积为最大23 求曲线 所围成的平面图形的面积24 某工厂每天生产 x 单位产品时的总成本为 C(x)= x2+x+100(元) ，若该产品市场需求函数为 x=753p，其中 p 为每单位的销售价格，问每天生产多少时获利润最大？此时价格为多少？全国自考（高等数学一）模拟试卷 7 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要
5、求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 B【试题解析】 因 f(一 x)=f(x)，得 f一(x)=f(x)=f(x)，故 f(x)在a，a上是偶函数2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 A 项 (2x+1)=1；D 项 xsinx 不存在4 【正确答案】 B【试题解析】 y=4x+3 设点 M 的坐标为(x 0，y 0)，M 处的切线斜率为15， M 为(3 ，1)5 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)=arctanx 2，f(x)= f(x0)=6 【正确答案】 B【试题解析】 y=ax 2+c 在(0，+) 内单调减
6、少， y= 2ax0，x (0，+) ， a0且 c 为任意实数7 【正确答案】 D【试题解析】 根据需求价格弹性公式得： 又因为 Q=abp，所以8 【正确答案】 C【试题解析】 9 【正确答案】 A【试题解析】 10 【正确答案】 C【试题解析】 原方程 x= =lnlny，可写成 F(x，y，)=xln+lny，所以又从 x=lnlny 可得到 ln= r+lny，=ye x，所以 =yex二、计算题（一）11 【正确答案】 12 【正确答案】 所求切线的斜率为 在双曲线方程的两边对 x 求导，得 代入 x=x0，y=y 0，得到双曲线在点 (x0，y 0)处的切线斜率 因为点(x 0，
7、y 0)在双曲线上，所以 =1，于是所求切线为13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 三、计算题（二）16 【正确答案】 (1)函数 y=x 在(1，1)内连续，但是在( 1，1)内取不到最大值，也取不到最小值如下图(a)所示，本题说明，开区间内的连续函数不一定能取到最大(小 )值 (2)在闭区间 1，1上，f(x)在 x0=0 处连续，由下图(b)可以看到，f(x)在闭区间1，1上的最小值为 0，最大值为 1本题说明，闭区间上的连续函数，一定能取到最大(小) 值17 【正确答案】 由复合函数求导法则，有18 【正确答案】 由题意知 又 y=3ax2+ 2bc+c，y“=6
8、ax+2b，代入(*)式解得a=1，b=3，c=019 【正确答案】 含指数函数与三角函数乘积的定积分，用分部积分法设u=cosx，=e 2x，则 u=一 sinx，= e2x，所以02e2xcosxdx= e2xcosx|0e2xsinxdx，再设 u=sinx，=e 2x，则 u= cosx， = e2x所以 02e2xsinxdx= e2xsinx |02一 e2xcosxdx，代入上式得02e2xcosxdx= 02e2xcosxdx，移项得 02e2xcosxdx= (e41)，故02e2xcosxdx= (e41)20 【正确答案】 令 x=rcos，y=rsin ，四、应用题21
9、 【正确答案】 (1)收益函数 R(P)=QP=116P2P2 (2)成本函数 C(P)=100+2Q=100+2(1162P)=3324P (3)利润函数 L(P)=R(P)C(P)=一332+120P2P2 令 L/(P)=1204P=0，得唯一驻点 P=30，并且 L“(30)=一 40 则当价格 P=30(万元) 时可获得最大利润，其最大利润为 L(30)=1468(万元)22 【正确答案】 设切点为(x 0，x 02)，过此点的切线方程为：y=2x 0(xx0) +x02=2x0xx02切线与 y=0 的交点为 x= ，y=0于是所围面积：S= (2x0xx02)dx = (x0x2x02x) x038x02+64x0，S= x0216x0+64，令S=0，得(0，8)内惟一驻点 x0= 这时， 故所求点为 ，过此点的切线与直线 y=0，x=8 相交所围面积最大23 【正确答案】 本题考查定积分的几何应用平面区域如下图：两曲线交点M，N 的坐标 由对称性，平面图形的面积24 【正确答案】 收入 R=px=(25 )x=25x 利润 L=RC= x2+24x100，L = +24，当 x=27 时，L=0L“= 0，当 x=27 时，利润最大，此时 p=16
