1、全国自考（高等数学一）模拟试卷 8 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 在实数范围内，下列函数中为有界函数的是（A）e x（B） 1+sinx（C） lnx（D）tanx2 设 f(x)= 则 gf(x)=（A）1+f(x)（B） 1f(x)（C） f(x)1（D）f(x)3 （A）0（B） 1（C） 2（D）不存在4 设 则 f(x)（A）在 x=0，x=1 处间断（B）在 x=1 处间断（C）连续区间为(一，2（D）在 x=0 处间断5 函数 在点 x=0 处（A）极限不存在（B）极限存在但
2、不连续（C）可导（D）连续但不可导6 下列极限中可用洛必达法则计算的是7 下列曲线有水平渐近线的是（A）y=e x（B） y=3（C） y=x2（D）y=lnx8 exsinxdx=（A） ex(sinx+cosx)+C（B） ex(sinxcosx)+C（C） cosex+C（D）cose x+C9 设 0xetdt=e，则 x=（A）e+1 （B） e（C） ln(e+1)（D）ln(e1)10 设 u=f(x2+y2+z2)，则（A）4xyf(x 2+y2+z2)（B） 4xyf“(x2+y2+z2)（C） 2(x+y)f(x2+y2+z2)（D）2(x+y)f(x 2+y2+z2)二、
3、计算题（一）11 求极限12 设 y= ，求 y13 求极限14 求微分方程 yy=3(x+2)2 (1+y2)的通解15 由方程 x2+y2+z2=4z 可确定 z 是 x，y 的隐函数，求三、计算题（二）16 设 x0 时，In(1+x k)与 x+ 为等价无穷小量，求 k17 利用微分计算 arctan101 的近似值18 求函数 y=(x3)2 的单调区间和极值19 求方程 y y=xex 满足初始条件 y|x=1=0 的特解20 求 c 的值，使抛物线 y=x22x 与直线 y=cx 所围成图形的面积是抛物线 y=x22x 与直线 y=0 及 x=2+c 所围成图形面积的一半四、应用
4、题21 在一天内，某用户 t 时刻用电的电流为 I(t)= t(t24)2+2(安培)，其中0t24(1)求电流 I(t)单调增加的时间段；(2) 若电流 I(t)超过 25 安培系统自动断电，问该用户能否在一天内不被断电？22 已知某企业生产某种产品 q 件时，MC=5 千元/件，MR=10002q 千元/ 件，又知当 q=10 件时，总成本为 250 千元，求最大利润(其中边际成本函数 MC=，边际收益函数 MR=23 求抛物线 y2=4x 与直线 x=1 所围成的平面图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 Vx 和 Vy24 计算由旋转抛物面 z=1+x2+y2 与柱面 x
5、2+y2=1 所围成的立体的体积 V全国自考（高等数学一）模拟试卷 8 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为|1+sinx|1+|sinx|1+1=2所以函数 1+sinx 为有界函数2 【正确答案】 B【试题解析】 gf(x)= 而当 f(x)=1 时，1f(x)=f(x)1=0 ，gf(x)=1 f(x)3 【正确答案】 B【试题解析】 型未定式，分子、分母同除以 x，而 x时， sinx2 均为无穷小量极限为 0，于是有4 【正确答案】 B【试题解析】 f(
6、x)在 x=1 处间断，又因为 (ex1)=0且 f(0)=0，所以 f(x)在 x=0 处连续5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 =0=f(0)，故 f(x)在点 x=0 处连续； 不存在，故 f(x)在点x=0 处不可导6 【正确答案】 D【试题解析】 分子、分母的极限都为 0，可用洛必达法则，7 【正确答案】 A【试题解析】 因 ex=0，故 y=0 是 y=ex 的水平渐近线，而 B，C 无水平渐近线，D 只有垂直渐近线，8 【正确答案】 B【试题解析】 e x sinxdx=sinxd(ex) =exsinxexd(sinx) =exsinxexcosxdx =exsinxcos
7、xd(ex) =exsinxexcosx+exd(cosx) =ex(sinxcosx)exsinxdx，所以e xsinxdx=ex(sinxcosx)+C9 【正确答案】 C【试题解析】 0xexdt=ex|0x=ex 一 1=e，x=ln(e+1) 10 【正确答案】 B【试题解析】 设 s=x2+y2+z2则 u=f(s)且 s=x2+y2+z2， =f(s) =2xf(s)y=2xf(s) y=2xf“(s) =2xf“(s) 2y=4xy f“(x 2 + y2 + z2)二、计算题（一）11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 由洛必达法则得14 【正确答案】
8、原方程化为 =3(x+2)2dx，两边积分得通解 ln(1+y2)=2(x+2)3+C(C 为任意常数 )15 【正确答案】 由 2x+2zx=4zx，得 由 2y+2zy=4zy，得三、计算题（二）16 【正确答案】 =0 时，极限为 1，故 k=17 【正确答案】 设 f(x)=arctanr，x 0=1，x=001，则有 f(x 0) = arctan1= ，从而 f(x0)= 故 arctanl 01 = f(x0+x) 0 01 0790418 【正确答案】 y=(x3) 2 的定义域为(一，+)，导数为 导数为零和导数不存在的点为 x1=3，x 2= ，x 3=2，这三个点将函数定
9、义域分成四个区间，在这四个区间上 y的符号以及函数的单调性、极值如下表所示：19 【正确答案】 通解为 =x(exdx+C)=xex+Cx当 x=1 时，y=0，取 C=e，特解为 y=x(exe)20 【正确答案】 y=x 22x 交 x 轴于点(0，0) 和(2， 0)，它与直线 y=cx 交于点(0，0)和(2+c，2c+c 2)记 y=x22x 与 y=cx 所围图形的面积为 A，则 A=02+c(cxx2+2x)dx= (c+2)3记 y=x22x 与 y=0，x=2+c 所围图形的面积为 B，则 B=2c2(2xx2)dx= (c+2)3(c+2)2+ 由 B=2A，得(c+2)
10、2= ，c+2= (舍去负值)四、应用题21 【正确答案】 令 I(t)= (t8)(t24)=0，得 t=8 和 24仅当 t(0，8)时，I(t)0，故 I(t)单调增加的时间段为 0 点至 8 点(2) 因为 I(t)在闭区间0，24上连续，且 I(0)=I(24)=2，I(8)=22 48，所以最大电流为 IM=2248 安培由于 IM25 安培，故该用户在一天内不会被断电22 【正确答案】 C(q)= 0q5dx+C0=5q+C0，已知 C(10)=250，代入得 C0=200，则C(q)=5q+200 又 R(q)=0q(10002x) dx=10q 001q 2， 故 L(q)=R(q)C(q)=5q001q 2200，而 L(q)=5002q，L(q) 的惟一驻点为 q0= =250又L“(q0)=一 0020，q 0 为极大值点，从而最大利润为 L(q0)=L(250)=425(千元)23 【正确答案】 本题为定积分的应用，平面图形如右图所示， 注意有对称性可简化计算V x=01y2dx =014xdx= 2x 2|01=2V y 应为 x=1 与 x= 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积之差，积分限与两曲线交点有关，联立求解 y2=4x 和 x=1，得y=2体积应为上半旋转体体积的 2 倍V y=202I 2dy 一 20224 【正确答案】
