1、1第一讲 空间几何体的三视图、表面积及体积(40分钟 70 分)一、选择题(每小题 5分,共 25分)1.(2018北京高考)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4【命题意图】本小题主要考查空间几何体的三视图,意在考查三视图与直观图的转化,培养学生的空间想象能力,体现了直观想象的数学素养.【解析】选 C.将四棱锥三视图转化为直观图,如图,侧面共有 4个三角形,即PAB,PBC,PCD,PAD,由已知,PD平面 ABCD,又 AD平面 ABCD,所以 PDAD,同理 PDCD,PDAB,所以PCD,PAD 是直角三角形.因为 ABA
2、D,PDAB,PD,AD平面 PAD,PDAD=D,所以 AB平面 PAD,又 PA平面 PAD所以 ABPA,PAB 是直角三角形 .因为 AB=1,CD=2,AD=2,PD=2,所以 PA= =2 ,2+2 22PC= =22+2PB= =3,2+2在梯形 ABCD中,易知 BC= ,5PBC 三条边长为 2 ,3, ,PBC 不是直角三角形.2 5综上,侧面中直角三角形个数为 3.2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )A. B.32 C. D.1603 3523【解析】选 A.由三视图可知, 该几何体是由底面为等腰直角三角形(腰长为 4)、高为 8的直三棱柱截去一个
3、等底且高为 4的三棱锥而得到的,所以该几何体的体积 V= 448-12 444= .1312 16033.(2018湖南五市十校联考)如图,小方格是边长为 1的正方形,一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( )A.4 +96 B.(2 +6)+965C.(4 +4)+64 D.(4 +4)+965 5【解析】选 D 由三视图可知,该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体,正方体的棱长3为 4,圆锥的高为 4,底面半径为 2,所以该几何体的表面积为 S=642+2 2+2=(4 +4)+96.42+22 54.一个三棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的侧(左)视图可能为
4、( )【解析】选 D.由题图可知,该几何体为如图所示的三棱锥,其中平面 ACD平面 BCD,故选 D.5.如图是一正方体被过棱的中点 M,N和顶点 A,D,C1的两个截面截去两个角后所得的几何体,则该几何体的正(主)视图为 ( )【解析】选 B.还原正方体,如图所示,由题意可知,该几何体的正(主)视图是选项 B.二、填空题(每小题 5分,共 15分)6.若一个几何体的表面积和体积相同,则称这个几何体为“同积几何体”.已知某几何体为4“同积几何体”,其三视图如图所示,则 a=_. 【解析】根据几何体的三视图可知该几何体是一个四棱柱,如图所示,可得其体积为(a+2a)aa= a3,其表面积为 (2
5、a+a)a2+a2+a2+2aa+ aa=7a2+ a2,所12 32 12 2 2以 7a2+ a2= a3,解得 a= .232答案:7.(2017全国卷)如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC的中心为 O.D,E,F为圆 O上的点,DBC,ECA,FAB 分别是以 BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以 BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得 D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC 的边 长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3)的最大值为_ _. 【解析】连接 OB,连接 OD,交 BC于点 G,由题意得,ODBC,O
6、G= BC,设 OG=x,则 BC=2 x,DG=5-x,三棱锥的高 h= = = ,2-2 25-10+2-2 25-105SABC =2 x3x =3 x2,312则 V= SABC h= x213 3 25-10= ,3 254-105令 f =25x4-10x5,x ,f =100x3-50x4,()令 f 0,即 x4-2x30,x2,则 f f =80,(2)则 V =4 ,3所以体积最大值为 4 cm 3.答案:4 cm 38.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧面 AA1C1C侧面 ABB1A1,AC=AA1= AB,AA 1C1 =60,2ABAA 1,H为 CC1的中点
7、,D 为 BB1的中点.若 AB= ,则三棱柱 ABC-A1B1C1的体积为2_. 【解析】连接 AC1,可知ACC 1为正三角形,又 H为棱 CC1的中点,所以 AHCC 1,从而 AHAA 1,又平面 AA1C1C平面 ABB1A1,平面 AA1C1C平面 ABB1A1=AA1,AH6平面 AA1C1C, 所以 AH平面 ABB1A1,又 A1D平面 ABB1A1,所以 AHA 1D .因为 AB= .AC=AA1= AB,所以 AC=AA1=2,DB1=1, = = ,2 2又DB 1A1=B 1A1A=90,所以A 1DB1AB 1A1,所以B 1AA1=DA 1B1,又DA 1B1+
8、AA 1D=90,所以B 1AA1+AA 1D=90,所 以 A1DAB 1 ,由及 AB1AH=A,可得 A1D平面 AB1H.取 AA1的中点 M,连接 C1M,则 C1MAH,所以 C1M平面 ABB1A1,所以 = C1M= = ,1-11 13 2 3所以三棱柱 ABC-A1B1C1的体积为 3 = .1-11 6答案: 6三、解答题(每小题 10分,共 30分)9.如图,边长为 的正方形 ADEF与梯形 ABCD所在的平面互相垂直,其中2ABCD,ABBC,DC=BC= AB=1,点 M在线段 EC上.12(1)证明:平面 BDM平面 ADEF.(2)判断点 M的位置,使得三棱锥
9、B -CDM的体积为 .2187【解析】(1)因为 DC=BC=1,DCBC,所以 BD= .2因为 AD= ,AB=2,2所以 AD2+BD2=AB2,所以ADB=90,所以 ADBD,因为平面 ADEF平面 ABCD,平面 ADEF平面 ABCD=AD.BD平面 ABCD,所以 BD平面 ADEF,因为 BD平面 BDM,所以平面 BDM平面 ADEF.(2)如图,在 平面 DMC内,过 M作 MNDC,垂足为点 N,又因为 EDAD,平面 ADEF平面 ABCD,平面 ADEF平面 ABCD=AD,所以 ED平面 ABCD,所以 EDCD,所以 MNED,因为 ED平面 ABCD,所以
10、MN平面 ABCD.因为 VB-CDM=VM-CDB= MNSBDC = ,218所以 11MN= ,所以 MN= .1312 218所以 = = = ,232138所以 CM= CE,13所以点 M在线段 CE的三等分点且靠近 C处.10.如图,过四棱柱 ABCD-A1B1C1D1形木块上底面内的一点 P和下底面的对角线 BD将木块锯开,得到截面 BDFE.(1)请在木块的上表面作出过 P的锯线 EF,并说明理由.(2)若该四棱柱的底面为菱形,四边形 BB1D1D是矩形,试证明:平面 BDFE平面 A1C1CA.【解析】(1)在上底面内过点 P作 B1D1的平行线分别交 A1D1,A1B1于
11、 F,E两点,则 EF即为所作的锯线.理由如下:在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,侧棱 BB1DD 1,且 BB1=DD1,所以四边形 BB1D1D是平行四边形,B 1D1BD.又平面 ABCD 平面 A1B1C1D1,平面 BDFE平面 ABCD=BD,平面 BDFE平面 A1B1C1D1=EF,所以 EFBD,从而 EFB 1D1.(2)由于四边形 BB1D1D是矩形,所以 BDB 1B.又 A1AB 1B,所以 BDA 1A.又四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形,所以 BDAC.因为 ACA 1A=A,所以 BD平面 A1C1CA.因为 BD平面 BDFE,所
12、以平面 BDFE平面 A1C1CA.911.如图,平面 PAD平面 ABCD,ABCD是边长为 2的菱形,PA=PD,且APD=90,DAB=60.(1)若线段 PC上存在一点 M,使得直线 PA平面 MBD,试确定 M点的位置,并给出证明.(2)在第(1)问的条件下,求三棱锥 C - DMB的体积.【解析】(1)M 为线段 PC中点.证明:取线段 PC中点 M,连接 MD,MB,连接 AC,BD相交于 O点,连接 OM,因为 ABCD为菱形,AC 交 BD于 O点,所以 O为 AC中点,又 M为 PC中点,所以 OMPA,又 OM平面 MBD,PA平面 MBD,所以 PA平面 MBD.(2)
13、因为 PA=PD,取 AD的中点 N,连接 PN,所以 PNAD,又平面 PAD平面 ABCD,所以 PN平面 ABCD,因为APD=90,AD=2,所以 PN= AD=1,又 M为 PC中点,所以 M到平面 ABCD的距离 hM= PN= .12 12因为 ABCD是边长为 2的菱形,DAB=60,所以 SBCD = 22 = ,12 3所以 VC-DMB=VM-BCD= SBCD hM= = .13 13 312(20分钟 20 分)1.(10分)如图所示,平行四边形 ABCD中,DAB=60,AB=2,AD=4.将CBD 沿 BD折起到EBD的位置,使平面 EBD平面 ABD.10(1)
14、求证:ABDE.(2)求三棱锥 E-ABD的侧面积和体积.【解析】(1)在ABD 中,因为 AB=2,AD=4,DAB=60,所以 BD= =2 ,2+2-2所以 AB2+BD2=AD2,所以 ABBD.又平面 EBD平面 ABD,平面 EBD平面 ABD=BD,AB平面 ABD,所以 AB平面 EBD.又 DE平面 EBD,所以 ABDE.(2)由(1)知 ABBD.因为 CDAB,所以 CDBD,从而 DEBD.在 RtDBE 中,因为 DB=2 ,DE=DC=AB=2,所以 SEDB = DBDE=2 .312 3因为 AB平面 EBD,BE平面 EBD,所以 ABBE.因为 BE=BC
15、=AD=4,所以 SEAB = ABBE=4.12因为 DEBD,平面 EBD平面 ABD,平面 EBD平面 ABD=BD,所以 DE平面 ABD,而 AD平面ABD,所以 DEAD,故 SEAD = ADDE=4.12故三棱锥 E-ABD的侧面积 S=SEDB +SEAB +SEAD=8+2 .3因为 DE平面 ABD,且 SABD =SEBD =2 ,DE=2,3所以 V 三棱锥 E-ABD= SABD DE= 2 2= .13 13 3 4332.(10分)如图,在四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD是菱形,PD平面 ABCD,点 D1为棱 PD的中点,过D1作与平面 ABCD平行的平
16、面与棱 PA,PB,PC相交于点 A1,B1,C1,BAD=60.11(1)求证:B 1为 PB的中点.(2)已知棱锥的高为 3,且 AB=2,AC,BD的交点为 O,连接 B1O.求三棱锥 B1-ABO外接球的体积.【解析】(1)连接 B1D1.由题意知,平面 ABCD平面 A1B1C1D1,平面 PBD平面 ABCD=BD,平面 PBD平面 A1B1C1D1=B1D1,则 BDB 1D1,即 B1D1为PBD 的中位线,即 B1为 PB的中点.(2)由(1)可得,OB 1= ,AO= ,BO=1,且 OAOB,OAOB 1,OBOB 1,32即三棱锥 B1-ABO的外接球为以 OA,OB,OB1为长、宽、高的长 方体的外接球,则该长方体的体对角线长 d= = ,即外接球半径 R= .12+(3)2+(32)252 54则三棱锥 B1-ABO外接球的体积 V= R 3= = .43 43 (54)312548
