1、1第二讲 椭圆、双曲线、抛物线(40分钟 70 分)一、选择题(每小题 5分,共 25分)1.抛物线 y= x2的焦点到双曲线 y2- =1的渐近线的距离为 ( )23A. B. C.1 D.12【解析】选 B.因为抛物线 y= x2的焦点为(0,1),双曲线 y2- =1的渐近线的方程为 y=14 23x,即x- y=0,所以抛物线 y= x2的焦点到双曲线 y2- =1的渐近线的距离为 d=314 23= .2.已知椭圆 mx2+4y2=1的离心率为 ,则实数 m等于 ( )A.2 B.2或 C.2或 6 D.2或 883【解析】选 D.焦点在 x轴时,a 2= ,b2= ,根据 e= =
2、 = = =1 14 22122-22 1222,即 = m=2,焦点在 y轴时,a 2= ,b2= ,即 = m=8,所以 m等于 2或 8.12 124 14 11423.设 F为双曲线 C: - =1(a0,b0)的右焦点,B 为虚轴的上端点 ,若直线 FB与双曲线 C2222的一条渐近线垂直,则 C的离心率为 ( )A. B. C. -1 D.25+122【解析】选 B.因为直线 FB的斜率为- ,双曲线 C的一条渐近线的斜率为 ,又因为直线 FB 与双曲线 C的一条渐近线垂直,所以 =-1,所以 c2-a2=b2=ac,两边都除以 a2,得(-) e2-e-1=0,因为 e1,所以
3、e= .1+524.已知双曲线 - =1(a0,b0)的一个焦点为 F(2 ,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2222 22+y2=3相切,则双曲线的方程为 ( )A. - =1 B. - =129C. - =1 D. - =12622 2226【解析】选 D.由已知可得 c=2 ,双曲线渐近线方程为 y= x,即 aybx=0,2a2+b2=c2=8,(x-2)2+y2=3的圆心为(2,0),半径 r= ,3若双曲线渐近线与圆方程相切,则d= = = = ,所以 b= ,2 3 6所以 b2=6,c2=8,a2=2,所以双曲线方程为 - =1.22265.已知抛物线 C:y2=2px(p
4、0)的焦点为 F,准线为 l,点 P是抛物线 C上一点,过点 P作 l的垂线,垂足为 A,准线 l与 x轴的交点设为 B,若BAF=30,且APF 的面积为 12 ,则以3PF为直径的圆 的标准方程为 ( )A.(x-2 )2+(y+3)2=12或(x-2 )2+(y-3)2=123 3B.(x-3)2+(y+2 )2=12或(x-3) 2+(y-2 )2=123 33C.(x-2 )2+(y+3)2=8或(x-2 )2+(y-3)2=83 3D.(x-3)2+(y+2 )2=8或(x-3) 2+(y-2 )2=83 3【解析】选 A.作出辅助图形如图所示,因为BAF=30,故AFB=60=P
5、AF,由抛物线的定义可知|PA|=|PF|,故APF 为等边三角形,因为APF 的面积为 12 ,故|PF|=|PA|=|AF|=4 ,而3|BF|= |AF|=2 =p,故点 P的横坐标为|PA|- =3 ,代入 y2=4 x中,解得12 3 |2 3 3y=6,故所求圆的标准方程为(x-2 )2+(y3)2=12.3二、填空题(每小题 5分,共 15分)6.已知点 F是椭圆 C: + =1(ab0)的左焦点,若椭圆 C上存在两点 P,Q满足 =2 ,则2222椭圆 C的离心率的取值范围是_. 【解析】设 P(x1,y1),Q(x2,y2),F(-c,0),直线 PF:y=k(x+c).因为
6、 P,Q满足 =2 ,所以 y1=-2y2. 由 得=(+),22+22=22,(b2+a2k2)y2-2kcb2y-b4k2=0,y1+y2= , 4y1y2= , 由得 y1= ,y2= ,-222+22代入得 b2+a2k2=8c28c2b 2=a2-c29c2a 2 ,13所以椭圆 C的离心率的取值范围是 .答案:7.设 F1,F2为椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点,经过 F1的直线交椭圆 C于 A,B两点,22若F 2AB是面积为 4 的等边三角形,则椭圆 C的方程为_. 3【解析】由题意,知|AF 2|=|BF2|=|AB|=|AF1|+|BF1| ,又由椭圆的定义知,|
7、AF 2|+|AF1|=|BF2|+|BF1|=2a ,联立,解得|AF 2|=|BF2|=|AB|= a,|AF1|=|BF1|= a,43 23所以 = |AB|AF2|sin 60=4 ,12 3所以 a=3,|F1F2|= |AB|=2 ,3所以 c= ,所以 b2=a2-c2=6,3所以椭圆 C的方程为 + =1.2926答案: + =129268.已知抛物线 C:x2=2py(p0)的焦点为 F,过点 F的直线与抛物线 C交于 M,N两点,且|MN|=8,则5线段 MN的中点到抛物线 C的准线的距离为_. 【解析】分别过点 M,N作抛物线 C的准线的垂线,垂足分别为 P,Q,由抛物
8、线的定义知,|MP|=|MF|,|NQ|=|NF|,则|MP|+|NQ|=|MN|=8.线段 MN的中点到抛物线 C的准线的距离为梯形 MNQP的中位线的长度,即 (|MP|+|NQ|)12=4.答案:4三、解答题(每小题 10分,共 30分)9.如图,已知椭圆 + =1(ab0)的右顶点和上顶点分别为 A,B,|AB|= ,离心率为 .2222 5(1)求椭圆的标准方程.(2)过点 A作斜率为 k(k0)的直线 l与椭圆交于另外一点 C,求ABC 面积的最大值,并求此时直线 l的方程.【解析】(1)由题意得解得=2,=1,=3.所以,椭圆方程为 +y2=1.24(2)kAB=- ,126设与
9、 AB平行的椭圆的切线方程为 y=- x+m,12联立方程组得=-12+,2+42=4消去 y得 x2-2mx+2m2-2=0, =4m 2-4(2m2-2)=0,解得 m= .因为 k0,所以 m=- .2代入到中得 x=- ,代入到 y=- x- 得212 2y=- ,所以当取 C的坐标是 时,ABC 的面积最大.此时 C点到 AB的距离为 d= ,SABC = = +1.12 5 2此时,直线 l的方程是 y= x- +1.210.已知点 M(1,m)在抛物线 C:y2=2px(p0)上,点 M到抛物线 C的焦点 F的距离为 .52(1)求 m的值.(2)若直线 y=kx+2与 x轴交于
10、点 N,与抛物线 C交于 A,B,且 =2 ,求 k的 值.【解析】(1)由已知:1+ = ,所以 p=3.252所以抛物线方程:y 2=6x,把 M(1,m)代入,得:m= .67(2)由已知 k0,N ,设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消去 x,得:ky 2-6y+12=0,2=6,=+2由 =36-48k0,得 kb0)的左顶点为 A(-2,0),且过点 .2222 (1,32)(1)求椭圆 C的标准方程及离心率.(2)若直线 l:x=ty-1交椭圆 C于 P(x1,y1),Q(x2,y2).求证:y 1y2=- ;32+4若APQ 的面积为 ,求 t的值 .45【解析】(
11、1)由题意得:a=2,又因为椭圆过点 ,(1,32)8所以 + =1,所以 b=1.14因为 c2=a2-b2,所以 c= ,所以离心率 e= = ,3所以椭圆 C的标准方程为 +y2=1.24(2)由题意,联立 整理得:(t 2+4)y-2ty-3=0,所以 y1+y2= ,y1y2=- ,22+4 32+4所以 y1y2=- 成立.由题意得,直线 l:x=ty-1恒过(-1,0).设直线 l与 x轴交于点 M,则 M(-1,0),所以|AM|=1.因为|y 1-y2|= ,所以 SAPQ = |AM|y1-y2|12= = ,45所以 4t4+7t2-11=0,所以 t2=1,或 t2=-
12、 (舍),所以 t=1.9(20分钟 20 分)1.(10分)双曲线 x2- =1(b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,直线 l过 F2且与双曲线交于22A,B两点(1)若 l的倾斜角为 ,F 1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程.2(2)设 b= ,若 l的斜率存在,且( + ) =0,求 l的斜率.3【解析】(1)方法一:设 A(xA,yA).由题意,F 2(c,0),c= , =b2(c2-1)=b4,1+22因为F 1AB是等边三角形,所以 2c= |yA|,即 4(1+b2)=3b4,解得 b2=2,3故双曲线的渐近线方程为 y= x.2方法二:由题可知 A(c,b2),因为F
13、 1AB是等边三角形,所以 tan 30= = .22即 4(1+b2)=3b4,解得 b2=2,故双曲线的渐近线方程为 y= x.2(2)由已知,b= ,所以 c2=1+b2=4,3所以 F1(-2,0),F2(2,0).由题意可得,直线 l的方程为 y=k(x-2),显然 k0.由 得2-23=1,=(-2)(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0.因为 l与双曲线交于两点,所以 k2-30,且 =36(1+k 2)0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2= ,x1x2= .42+32-310方法一:设 AB的中点为 M(xM,yM).由( + ) =0,即 =0,知 F1
14、MAB,故 k=-1.而 xM= = ,1+22yM=k(xM-2)= , = ,62-3所以 k=-1,得 k2= ,显然符合题意,故 l的斜率为 .35 155方法二:因为 =(x1+2,y1),=(x2+2,y2), =(x2-x1,y2-y1)由( + ) =0得(x1+x2+4)(x2-x1)+(y1+y2)(y2-y1)=0整理得(1+k 2)(x1+x2)+4-4k2=0,即 20k2=12 所以 k2= ,显然符合题意 ,35故 l的斜率为 .1552.(10分)已知椭圆 C: + =1(ab0)的长轴长为 4,焦距为 2 .2222 2(1)求椭圆 C的方程.(2)过动点 M
15、(0,m)(m0)的直线交 x轴于点 N,交 C于点 A,P(P在第一象限),且 M是线段 PN的中点.过点 P作 x轴的垂线交 C于另一点 Q,延长 QM交 C于点 B.11设直线 PM,QM的斜率分别为 k,k,证明 为定值.求直线 AB的斜率的最小值.【解题指南】(1)由长轴长为 4,焦 距为 2 ,可得 a=2,c= ,方程易得.2 2(2)设出点 P坐标,易得点 Q坐标,表示出直线 PM,QM的斜率分别为 k与 k,它们之比易得;借助上述关系可以方便计算直线 AB的斜率,此外理清直线截距与斜率 k之间的关系是解决问题的又一关键.【解析】(1)由题意 a=2,c= ,所以 b2=2,所以椭圆方程为 + =1.22422(2)由题意,设 P ,则 Q(p,-2m),直线 PA的斜率 k= = = ,其中 00. 4-82142-8 12将直线 y=Kx+m与椭圆方程联立,可得, x2+4Kmx+2m2-4=0.设 A ,B ,直线 PA:y=kx+m,直线 QB:y=-3kx+m,分别令 K=k,K=-3k可得:(1,1) (2,2)x1p= ,x2p= ,22-422+1所以,k AB= =1-21-2(1+)-(-32+)1-212= = (当且仅当 k= 时取等号).14(6+1)所以,直线 AB的斜率的最小值为 .
