1、1第 1 讲 空间几何体的三视图、表面积与体积(限时:45 分钟)【选题明细表】知识点、方法 题号空间几何体的三视图 1,2,9,11几何体的表面积和体积 3,6由三视图求几何体的表面积和体积 4,5,7,10,12与球有关的接、切问题 8,13,14一、选择题1.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( A )解析:在空间直角坐标系中作出四面体 OABC 的直观图如图所示,作顶点 A,C 在 zOx 平面的投影是 A,C,可得四面体
2、的正视图.故选 A.2.(2018宁德二模)某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为 2,则图中 x 的值为( A )(A)1 (B) (C) (D)22解析:三视图对应的几何体的直观图如图所示.几何体的体积为 2x2=2,解得13x=1.故选 A.23.(2018山西省八校一联)轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为( C )(A) (B) (C) (D)243 32 423 2解析:设圆柱的底面半径为 r,由题意可知圆柱的高 h=2r.设外接球的半径为 R,则 r2+r2=R2,故 R= r.则圆柱的体积 V1=r 2h=2r 3,外接球的体积 V2= R3= r3,
3、所以 = .故243 823 21423选 C.4.(2018安徽省知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( C )(A)1 (B) (C) (D)12 13 14解析:法一 该几何体的直观图为四棱锥 S ABCD,如图,SD平面 ABCD,且 SD=1,四边形 ABCD是平行四边形,且 AB=DC=1,连接 BD,由题意知 BDDC,BDAB,且 BD=1,所以 S 四边形 ABCD=1,所以 = S 四边形 ABCDSD= .故选 C.13 13法二 由三视图易知该几何体为锥体,所以 V= Sh,其中 S 指的是锥体的底面积,即俯视图中13四边形的面积,易知 S=1
4、,h 指的是锥体的高,从正视图和侧视图易知 h=1,所以 V= Sh= .故13 13选 C.5.(2018辽宁模拟)一个正三棱柱(底面是正三角形,高等于侧棱长)的三视图如图所示,这个正三棱柱的表面积是( D )3(A)8 (B)24(C)4 +24 (D)8 +24解析:由正视图知,三棱柱是以底面边长为 4,高为 2 的正三棱柱,所以底面积为 2 42=8 ,3侧面积为 342=24,所以其表面积为 24+8 .故选 D.36.(2018太原市一模)已知三棱锥 D ABC 中,CD底面 ABC,ABC 为正三角形,若AECD,AB=CD=AE=2,则三棱锥 D ABC 与三棱锥 E ABC
5、的公共部分构成的几何体的体积为( B )(A) (B) (C) (D)13 3解析:设 ADCE=F,因为 CD=AE,所以 F 为 CE 的中点,则三棱锥 F ABC 为三棱锥 D ABC 与三棱锥 E ABC 的公共部分,如图,取 AC 的中点 M,连接 FM,则 FM=1,且 FM底面 ABC,故 FM 为三棱锥 F ABC 的高.SABC = 22= ,3故 = 1= .13 3故选 B.7.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两个4同高的几何体,如在等高处截面的面积恒相等,则体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”,则该不
6、规则几何体的体积为( C )(A) (B)3 (C) (D)6解析:三视图对应的几何体为三棱锥,其长为 5,宽为 ,由侧视图知其高为 = ,42(125) 2三棱锥的体积为 V= 5 = ,所以所求不规则几何体的体积为 .故选 C.13 128.(2018惠州市第二次调研)如图,某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形且直角边长都等于 1,则该几何体的外接球的体积为( B )(A) (B) (C)3 (D) 12 43解析:还原几何体为三棱锥 A BCD,将其放入棱长为 1 的正方体中,如图所示,则三棱锥A BCD 外接球的半径 R= ,该几何体的外接球的体积 V= R 3= .故选 B.4
7、39.(2018武汉市四月调研)某几何体的三视图如图所示,则从该几何体的所有顶点中任取两个顶点,它们之间距离的最大值为( B )5(A) (B) (C)2 (D)23 6 3 6解析:由三视图可知,该几何体是一个四棱柱,记为四棱柱 ABCDA1B1C1D1,将其放在如图所示的长方体中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,四棱柱的高为 1,连接 AC1,观察图形可知,几何体中两顶点间距离的最大值为 AC1的长,即 = .22+12+12 6故选 B.10.(2018郑州市一中入学测试)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工
8、件的一个面内,则原工件材料的利用率为（材料利用率= ）( A )新工件的体 积原工件的体 积(A) (B)89(C) (D)12(21)3解析:依题意知,题中的工件形状是一个底面半径为 1、高为 2 的圆锥,设新工件的长、宽、高分别为 a,b,c,截去的小圆锥的底面半径、高分别为 r,h,则有 a2+b2=4r2,h=2r,设长方体的体积为 abc=ab(2-2r) =4r2(1-r).设 f(r)=4r2(1-r),则有 f(r)(2+2)(22)2=4r(2-3r),当 00,当 r1 时,f(r)0,因此 f(r)=4r2(1-r)的最大值是 f（ ）= ,则原工23 23 23 162
9、7件材料的利用率为 （ 1 22）= .故选 A.1627 13 89二、填空题11.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为. 解析:三视图所表示的几何体的直观图如图所示.结合三视图知,PA平面 ABC,PA=2,AB=BC=,AC=2.2所以 PB= = = ,PC= =2 ,2+2 6 2+2 2所以该三棱锥最长棱的棱长为 2 .2答案:2 212.(2018温州二模)某几何体的三视图如图所示,正视图为边长 2 的正方形(单位:cm),则该几何体的体积是 cm 3,表面积是cm 2. 解析:由三视图还原原几何体如图,该几何体为圆柱截去一部分,圆柱底面半径为 1 cm,母线长为
10、2 cm,7则该几何体的体积 V= 1 22= (cm3),34 32表面积为21 2+ 212+21=(5+2)(cm 2).34答案: 5+23213.(2018德州二模)如图所示的是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为 .解析:如图,几何体为四棱锥 P ABCD,其中底面 ABCD 为边长为 2 的正方形,顶点 P 在底面ABCD 的射影为 CD 的中点 M,设底面中心为 O,由侧视图可知 PM=1,PMCD,所以 OM= AD=1,12故 OP= = ,2+2 2又 OA=OB=OC=OD= ,2所以 O 为几何体的外接球球心,球的半径为 ,2所以外接球的表面积 S=4(
11、)2=8.2答案:814.(2018武汉市四月调研)在四面体 ABCD 中,AC=CB=AB=AD=BD=1,且平面 ABC平面 ABD,则四面体 ABCD 的外接球半径 R= . 解析:如图,取 AB 的中点 G,连接 DG,CG,8由题意,知ABC 与ABD 均为正三角形,则四面体 ABCD 的外接球球心 O 在过ABC 的重心 O1,且与平面 ABC 垂直的直线上,同时也在过ABD 的重心 O2,且与平面 ABD 垂直的直线上,易知四边形 OO1GO2为正方形.在ABC 中,O 1C= CG= AB= ,23 23O1G= CG= AB= ,13 13则 OO1= ,连接 OC,则 OC= = = ,故四面体 ABCD 的外接球12+12 ( 33) 2+( 36) 2 156的半径为 .156答案:156
