1、1小专题(四) 平行四边形的判定与性质的综合平行四边形是特殊的四边形,其判定定理是我们判断一个四边形是平行四边形的重要依据,平行四边形的性质是证明线段相等或角相等的重要依据之一,平行四边形的判定与性质是中考的重要考查知识之一,有时单独考查,有时综合考查 .类型 1 平行四边形的性质1.如图,在 ABCD 中,若 AB=6,AD=10, ABC 的平分线交 AD 于点 E,交 CD 的延长线于点 F,求DF 的长 .解: 四边形 ABCD 为平行四边形,AB=DC= 6,AD=BC=10,AB DC, ABE= BFC.又 BF 平分 ABC, ABE= FBC, FBC= BFC,BC=CF=
2、 10,DF=CF-DC= 10-6=4.2.如图,在 ABCD 中,延长 AB 至点 E,延长 CD 至点 F,使得 BE=DF,连接 EF,与对角线 AC 交于点 O.求证: OE=OF.证明:在 ABCD 中, AB DC,AB=DC.BE=DF ,AB+BE=DC+DF ,即 AE=FC.又 OCF= OAE, F= E, COF AOE,OE=OF.类型 2 平行四边形的判定3.如图,点 A,F,C,D 在同一直线上,点 B 和点 E 分别在直线 AD 的两侧,且AB=DE, A= D,AF=DC.求证:四边形 BCEF 是平行四边形 .2证明: 点 A,F,C,D 在同一直线上,
3、AF=DC,AF+FC=DC+CF ,即 AC=DF,又 AB=DE , A= D, ABC DEF,BC=EF , ACB= DFE,BC EF, 四边形 BCEF 是平行四边形 .4.如图, E,F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点, AF=CE,DF=BE,DF BE.求证:四边形 ABCD是平行四边形 .证明: DF BE, AFD= CEB.又 AF=CE ,DF=BE, AFD CEB,AD=BC , DAF= BCE,AD BC, 四边形 ABCD 是平行四边形 .5.如图,四边形 ABCD 中, AD BC,AE AD 交 BD 于点 E,CF BC 交 BD 于点
4、 F,且 AE=CF.求证:四边形 ABCD 是平行四边形 .证明: AE AD,CF BC, EAD= FCB=90.AD BC, ADE= CBF.在 AED 和 CFB 中, ADE= CBF, EAD= FCB,AE=CF, AED CFB,AD=BC.AD BC, 四边形 ABCD 是平行四边形 .类型 3 平行四边形的判定与性质的综合36.如图, ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,E,F 分别是 OA,OC 的中点,连接 BE,DF.(1)根据题意,补全图形;(2)求证: BE=DF.解:(1)图略 .(2)连接 DE,BF. 四边形 ABCD 是平行四边形,OA=OC
5、 ,OB=OD,又 E ,F 分别是 OA,OC 的中点, OE=OF , 四边形 DEBF 为平行四边形, BE=DF.7.如图,在 ABCD 中, BD 是它的一条对角线,过 A,C 两点分别作 AE BD,CF BD,垂足分别为E,F,延长 AE,CF 分别交 CD,AB 于点 M,N.(1)求证:四边形 CMAN 是平行四边形;(2)已知 DE=4,FN=3,求 BN 的长 .解:(1) AE BD,CF BD,AM CN. 四边形 ABCD 为平行四边形, AB CD, 四边形 CMAN 为平行四边形 .(2)由(1)知,四边形 CMAN 为平行四边形,CM=AN ,又 四边形 AB
6、CD 也是平行四边形,AB=CD ,AB CD,DM=BN , MDE= NBF.4在 MDE 和 NBF 中, MDE= NBF, DEM= BFN,DM=BN, MDE NBF,DE=BF= 4.由勾股定理,得 BN= =5.FN2+BF2= 32+428.如图,在 ABCD 中, AC,BD 相交于点 O,直线 EH 经过点 O,交 AB 于点 E,交 CD 于点 H,直线 FG经过点 O,交 BC 于点 F,交 AD 于点 G,连接 EF,HG.求证: EF GH.证明:连接 EG,FH. 四边形 ABCD 是平行四边形,AO=OC ,AB CD, EAO= HCO.又 AOE= CO
7、H, AOE COH,OE=OH.同理 OG=OF, 四边形 EFHG 是平行四边形, EF GH.9.如图,在 ABCD 中, AB=2AD, A=60,E,F 分别是 AB,CD 的中点,若 EF=1 cm,求对角线 BD的长 .解:连接 DE. 四边形 ABCD 是平行四边形,AB CD,AB=CD,DF= CD,AE= AB,12 12DF AE 且 DF=AE,5 四边形 ADFE 是平行四边形,EF=AD= 1 cm.AB= 2AD,AB= 2 cm,AE=AD=1 cm, A=60, ADE 是等边三角形,DE=AE , ADE= AED=60.AE=BE ,DE=BE , BDE= DBE=30, ADB= BDE+ ADE=90,在 Rt ABD 中, BD= .AB2-AD2= 3
