1、1专题 08 立体几何一、选择题1. 【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评】某几何体 的三视图如图所示，其中点 分别是几何体 上下底面的一组对应顶点，打点器从 P 点开始到 点结束绕侧面打一条轨迹线，则留下的所有轨迹中最短轨迹长度为ABCD【答案】B 2. 【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评】在长方体2与平面 所成的角为 ，则 的取值区间为A B C D【答案】B3. 【河北省衡水市武邑中学 2018 年高三高考三模】一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为 A B C2 D4【答案】B【解析】几何体如图， ，所以最大面
2、的面积为 ，选34. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十次模拟考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答 案】B【解析】试题分析：由三视图可知,该几何体是由正三棱柱截取一部分所得,故体积为 . 7. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十七次模拟考试】如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）4A6 B9 C12 D18【答案】C 8. 【衡水金卷】2018 届四省名校高三第三次大联考】某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为 144 2cm，则 d（ ）A14 cm B13 c C12 cm D11 c【答案】C59. 【河北
3、省衡水中学 2019 届高三上学期四调】 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥 为鳖臑， 平面 ， ， ，三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意得 为球 的直径,而 ,即球 的半径 ;所以球 的表面积 .本题选择 C 选项. 12. 【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试】某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积不可能是 A B2 C4 D6【答案】C613. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(一)】已知一几何体的三
4、视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 163 B 12 C 123 D 143【答案】C14. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(一)】已知球 O是正三棱锥（底面为正三角形， 顶点在底面的射影为底面中心） ABCD的外接球， 3BC， 23A，点 E在线段 BD上，且 3BE，过点E作圆 O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A ,4 B 2,4 C ,4 D 0,4【答案】B7【解析】如图，设 BCD 的中心为 1O ，球 的半径为 R ，连接 ，易求得，则 .在 1tOD中，由勾股定理， ，解得 R2 ，由 3BE ，知 ，所以，当过点 的截距与 E 垂直时，截面圆的面积最
5、小，此时截面圆的半径 ，此时截面圆的面积为 2 ；当过点 的截面过球心时，截面圆的面积最大，此时截面圆的面积为 4 ，故选 B. 17. 【河北省衡水中学 2018 届高三十五模试题】如图是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积是A 42 B C D 【答案】B818. 【河北省衡水中学 2018 届高三上学期七调考试】已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A B C D【答案】A919. 【河北省衡水中学 2018 届高三高考押题（一)】已知一几何体的 三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 163 B 12 C 123 D 143【答案】C20. 【河北省衡水中学
6、 2018 届高三高考押题（一)】已知球 O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心） ABCD的外接球， 3BC， 23A，点 E在线段 BD上，且 3BE，过点 E作圆 O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）10A ,4 B 2,4 C 3,4 D 0,4【答案】B【解析】如图，设 BCD 的中心为 1O ，球 的半径为 R ，连接 ，易求得，则 .在 1tOD中，由勾股定理， ，解得 R2 ，由 3BE ，知 ，所以，当过点 的截距与 E 垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径 ，此时截面圆的面积为 2 ；当过点 的截面过球心时，截面圆的面积最大，此时截面圆的面积
7、为 4 ，故选 B. 3. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期四调】如图为某几何体的三视图，正视图与侧视图是两个全等的直角三角形，直角边长分别为 与 1，俯视图为边长为 1 的正方形，则该几何体最长边长为_.【答案】114. 【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试】已知正方体 的棱 的中点为 与交于点 ，平面 过点 ，且与直线 垂直，若 ，则平面 截该正方体所得截面图形的面积为_【答案】【解析】125. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(三)】如图所示，在棱长为 2 的正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，那么异面直线 和 所成角的余弦值等于_13【答案】 .【解析】以
8、AD,DC,DD1 建立空间直角坐标系，则： 得直线 和 所成角的余弦值等于 又 ，所以 平面 ，所以 平面 .因为 BC=2， .所以又 ，所以 ，因为 ，所以 。所以 .所以几何体 QR-ABC 的体积为，14则 .又 .则2. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十次模拟考试】如图，在底面为梯形的四棱锥 中，已知 ， ， .（1）求证： ；15（2）求三棱锥 的体积.【答案】 （1）证明见解析；（2） 在 中， ， 为 的中点，且 ，在 中，为直角三角形，且又 ，且平面3. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期六调】已知多面体 中， 平面 ， ，.16（1）求点 在平面 上投影的位置
9、，请说明具体位置并说明理由；（2）求多面体 的体积.【答案】 （1）点 在平面 的投影在线段 中点上；（2） .平面 ， 、 平面，又、 平面 ，平面平面 ，即点 在平面 的投影在线段 中点上（2）设 到平面 的距离为由 ， 可知 为梯形则 174. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十六次模拟考试】如图，在直三棱柱 中， ， 分别是棱 ，的中点，点 在 棱上，且 ， ， .（1）求证： 平面 ；（2）当 时，求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析；（2）（法二）取 的中点 ，连接由 是棱 的中点， 为 的中点， 为 的中位线，即 平面 又 为棱 的中点， 为 的中点18由 ，由 ，且 为
10、直三棱柱，进而得 ，即 平面 又 平面 平面 又 平面 平面 (2)取 上一点 使 且直三棱柱 ， 为中点 , , 平面 而 ,点 到平面 的距离等于三棱锥 的体积为 195. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十七次模拟考试】四棱锥 中， 面 ，底面 是菱形，且 ， ，过点 作直线 ， 为直线 上一动点.（1）求证： ；（2）当面 面 时，求三棱锥 的体积.【答案】 （1） 证明见解析；（2） .20（2）由题意得 和 都是以 为底的等腰三角形，设 和 的交点为 ，连接 、 ，则 ， ，又 , 平面 又平面 面 ，平面 面 ， 面 ， .在菱形 中， ， ， .在 中， 在 中，设 ，则
11、在 中， ，又在直角梯形 中， ，故 ， 解得 ，即 . ， .6. 【衡水金卷】2018 届四省名校高三第三次大联考】在如图所示的几何体中， 平面 ，四边形为等腰梯形， ， ， ， ， ， .21（1）证明： ；（2）若多面体 的体积为 ，求线段 的长.【答案】(1)证明见解析；(2) .（2）设 ，作 于点 ，22则 平面 ，且 ，又 ， ，得连接 ，则 ， .7. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期四调】如图所示，四棱锥 中，平面 平面 ， ， .（1）证明：在线段 上存在一点 ，使得 平面 ；（2）若 ，在（1）的条件下，求三棱锥 的体积.【答案】(1)见解析;(2) .依题意得
12、， ，则有 ，四边形 是平行四边形， ，23 平面 ， 平面 ， 平面 8. 【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试】在如图所示的多面体 中， ，平面 , 求证： 平面 ；若 ， ，求三棱锥 的体积【答案】 （1）证明见解析；（2） .24三棱锥 的体积：9. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(一)】如图，点 在以 为直径的圆 上， 垂直与圆 所在平面，为 的垂心.（1）求证：平面 平面 ；（2）若 ，点 在线段 上，且 ，求三棱锥 的体积.【答案】(1)见解析.(2) .25（2）解：由（1）知 平面 ，所以 就是点 到平面 的距离.由已知可得， ，所以 为正三角形，所以 .
13、又点 为 的重心，所以 .故点 到平面 的距离为 .所以 .2610. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(三)】如下图：将直角三角形 PAO，绕直角边 P旋转构成圆锥，四边形 ABCD是圆 的内接矩形， M是母线 PA的中点， 2。（I）求证： /P面 ；（II）当 时，求点 B到平面 CD的距离。【答案】 （）证明见解析；（） 4391。（）设点 到平面 CD的距离为 d，由题设，PAC 是边长为 4 的等边三角形CM= 23又AD=CDMAMD又27由 得 392d= 3d= 4391点 到平面 CD的距离为 4391。11. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(二)】如图所示的
14、几何体 中，四边形 为菱形， ， ， ，平面 平面 ， ， 为 的中点， 为平面内任一点.（1）在平面 内，过 点是否存在直线 使 ？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（2）过 ， ， 三点的平面将几何体 截去三棱锥 ，求剩余几何体 的体积.【答 案】(1)见解析；（2）【解析】（1）过 点存在直线 使 ，理由如下：由题可知 为 的中点，又 为 的中点，所以在 中，有 .若点 在直线 上，则直线 即为所求作直线 ，所以有 ；若点 不在直线 上，在平面 内，过点 作直线 ，使 ，又 ，所以 ，即过 点 存在直线 使 .28所以 ，所以几何体 的体积 .12. 【河北省衡水中学 201
15、8 届高三十五模试题】如图，在直三棱柱 中， AD平面1ABC，其垂足 D落在直线 1AB上.（1）求证： ；（2）若 P是线段 上一点， 3D， ，三棱锥 1APBC的体积为 32，求 APC的值.29【答案】(1)证明见解析；(2) 53.（2）设 PCx，过点 B作 EAC于点 ，由（1）知 BC平面 1AB， BA. ， 2， 2， . D平面 1C，其垂足 D落在直线 1AB上， AB， A， 3， ，在 Rt中， ，又 ， 13D，在 1tA中， ， .又三棱锥 1APBC的体积为 32， 632x，解得 24x.30 524AP， 53C. 13. 【河北省衡水中学 2018 届高三上学期七调考试】如图，在三棱柱 中，已知， ，点 在底面 上的投影是线段 的中点 .（1）证明：在侧棱 上存在一点 ，使得 平面 ，并求出 的长；（2）求三棱柱 的侧面积.【答案】(1)证明见解析.(2) .又 ，得 5 分（2）由已知可得 的高 ， 的高 12 分14. 【河北省衡水中学 2018 届高三高考押题（一)】如图，点 在以 为直径的圆 上， 垂直与圆 所在平面， 为 的垂心.（1）求证：平面 平面 ；
