1、1云南师大附属中学 2019 届高三上学期第二次月考数学（理）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数 是实数（i 为虚数单位） ，则实数的值是A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算可得解.【详解】 是实数，所以故选 B【点睛】本题主要考查了复数的运算，属于基础题.2.已知集合 A=y| ,B=x| ,则下列结论正确的是A. 3A B. 3 B C. AB=B D. AB=B【答案】D【解析】【分析】分别求得集合 A,B 的范围，由两集合的包含关系可得解.【详解】
2、，A=(-3，+)，B=(2，+)所以有 ,故 .BA AB=B故选 D【点睛】本题主要考查了集合的表示法及集合间的关系，属于基础题.3.定义在 上的函数 的图象大致形状如(-32，32) y=xsinxA. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性及函数值的正负，利用排除法可得解.【详解】易知 为偶函数，排除 C,D；y=xsinx当 时， ，所以 ，排除 B.00 y0故选 A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(
3、4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项4.已知正三角形 ABC 的边长为 ，重心为 G，P 是线段 AC 上一点，则 的最小值为23 GPAPA. B. 2 C. D. 114 34【答案】C【解析】【分析】过点 作 ，垂足为 ，分析可知当 取得最小值时，点 在线段 上，从而得G GDAC D GPAP P AD，利用二次函数的性质可得最值.GPAP=-|AP|( 3-|AP|)【详解】如图，过点 作 ，垂足为 ，G GDAC D当点 位于线段 上时， ；P AD GPAP0故当 取得最小值时，点 在线段 上， ，当GPAP P AD GPAP=-|AP|DP|=-|
4、AP|( 3-|AP|)时，取得最小值 ，故选 C|AP|=32 -343【点睛】求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解， 额题主要是通过向量的数量积运算得到关于某线段长的二次函数，确定其定义域求最值即可.5.设 F2是双曲线 的右焦点，过 F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为x2a2y2b2=1(a0,b0)H，若 O 为原点且|OF 2|=2|OH|,则双曲线 C 的离心率为A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A【解析】【分析】由 ，可得 ，再由距离公式可得 ，从|OF2|=2|OH| |F2H|= |OF
5、2|2-|OH|2=32c |F2H|= bca2+b2=b而得 ，即可求离心率.32c=b【详解】一方面，由 ，得 ，故 ；|OF2|=2|OH| |OH|=12|OF2|=12c |F2H|= |OF2|2-|OH|2=32c另一方面，双曲线的渐近线方程为 ，故 ，bxay=0 |F2H|=bca2+b2=b于是 ，即 ，32c=b 34c2=b2=c2-a2故 ，得 ，a2=14c2 e=ca=2故选 A【点睛】本题主要考查双曲线的性质及离心率.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出 ，从而求出;构造 的齐次a,c a,c式，求出;采用离心
6、率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解6.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式” ，设ABC的三个内角 A、B、C 所对的变分别为 a、b、c，面积为 S，则“三斜公式”为 S=，若 ，B= ,则用“三斜公式”求得ABC 的面积为14a2c2(a2+c2b22 )2 c2sinA=4sinC 3A. B. C. D. 3 5 6 7【答案】A4【解析】【分析】由正弦定理可得 ，由余弦定理可得 ，从而得解.ac a2+c2-b2【详解】根据正弦定理，由 ，得 ，c2sinA=4sinC ac=4则由 ，得 ，B=3 a2+c2-b2=4则 ，S
7、ABC=14(16-4)= 3故选 A【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，属于基础题.7.某算法的程序框图如图 1 所示，若 ， ，输入a=90 b=12058,92,61,74,89,93,101,120,99,135，则输出的结果为A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】【分析】执行程序框图可知，该程序的作用为统计 90 到 120（含 90 和 120）之间的个数，从而得解.【详解】该框图是计数 90 到 120（含 90 和 120）之间的个数，可知 ，故选 C.k=5【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框
8、图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,5（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8.学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，如果这三天都下雨则推迟至下一周，已知这三天下雨的概率均为 ，则这周能进12行决赛的概率为A. B. C. D. 18 38 58 78【答案】D【解析】【分析】本周能进行决赛意味着能在周三或周四或周五进行，分别求概率，求和即可得解.【详解】设在这周能
9、进行决赛为事件 ，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件 ，A A3， ，则 ，A4 A5 A=A3A4A5又事件 ， ， 两两互斥，A3 A4 A5则有 ，P(A)=P(A3)+P(A4)+P(A5)=12+(1-12)12+(1-12)(1-12)12=78故选 D【点睛】本题主要考查了互斥关系的概率问题，属于基础题.9.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，BAC= ,AB=AC=2AA1,则异面直线 AC1与 A1B 所成角的2余弦值为A. B. C. D. 15 15 55 55【答案】A【解析】【分析】将三棱柱补为长方体 ，异面直线 与 的所成角即为 ，利用ABDC-A1B1
10、D1C1 AC1 A1B AC1D6余弦定理即可得解.【详解】将三棱柱补为长方体 ，异面直线 与 的所成角即为ABDC-A1B1D1C1 AC1 A1B，AC1D设 ，则 .AA1=1 AC=CD=2,AC1=DC1= 5,AD=22由题意知 ，故选 AcosAC1D=5+5-8255=15【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般求异面直线所成角的步骤:1 平移,将两条异面直线平移成相交直线2 定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角3 求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角4 结论10.已知函数 在 上有两个零点，则 的取值范围为f(x)= 3sinx+cosx(0)
11、0, A. B. C. D. (116,17,6) 116,17,6) (53,8,3) 53,8,3)【答案】B【解析】【分析】由五点作图法画出简图，使得 有两个零点可得 ，从而得解.0,1160 f(x)1 a,bR.下列结论： ；对任意 ，有 ； 是 R 上的减函数.f(a+b)=f(a)f(b) f(0)=1 xR f(x)0 f(x)正确的有A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个【答案】C【解析】【分析】由赋值法可得 再由 ，得 即可得成立；由单调性f(0)=1； f(x-x)=f(x)f(-x) f(x)=f(0)f(-x)= 1f(-x)的定义对任意的 ，不妨设
12、，判断 的正负可得错误.x1，x2R x1x2 f(x1)-f(x2)【详解】令 ，则 ，又因为 ，所以 ，故正确；a=b=0 f(0)=f(0)f(0) f(0)0 f(0)=1当 时， ，当 时， ，即当 时， ；x0 f(x)1 x=0 f(0)=1 x0 f(x)10当 时， ，则 ，x0 f(-x)0由题意得 ，则 ，故成立；f(x-x)=f(x)f(-x) f(x)=f(0)f(-x)= 1f(-x)0对任意的 ，不妨设 ，故存在正数使得 ，则x1，x2R x1x2 x1=x2+z，f(x1)-f(x2)=f(x2+z)-f(x2)=f(x2)f(z) -f(x2)=f(x2)(f
13、(z)-1)因为当 时， ，所以 ，x0 f(x)1 f(z)-10因为对任意的 ，有 ，所以 ，xR f(x)0 f(x2)0故 ，即 ，所以 是 上的增函数，故错误，f(x1)-f(x2)0 f(x1)f(x2) f(x) R故选 C【点睛】本题主要考查了抽象函数的赋值法，属于中档题.12.设直线 l 过椭圆 C： 的左焦点 F1与椭圆交于 A、B 两点，F 2是椭圆的右焦点，x24+y23=1则ABF 2的内切圆的面积的最大值为A. B. C. D. 916 34 94【答案】B【解析】8【分析】通过面积分割可得 ，从而得 ，由直线与椭SABF2=12(|AB|+ |AF2|+|BF2|
14、)r=4r r=SABF24圆联立，计算 ，从而得最大值，即可得解.SABF2=12|F1F2|y1-y2|= 123m2+1+ 1m2+1【详解】设内切圆的圆心为 ，连接 ，H AH，BH，F2H设内切圆的半径为，则 ，|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8，即 ，SABF2=SABH+SAHF2+SBHF2=12(|AB|+ |AF2|+|BF2|)r=4r r=SABF24当 的面积最大时，内切圆的半径最大，ABF2由题意知，直线不会与 轴重合，可设直线 ： ， ， ，x AB my=x+1 A(x1， y1) B(x2， y2)由 得
15、 ， ，my=x+1， x24+y23=1， (3m2+4)y2-6my-9=0 =122(m2+1)SABF2=SAF1F2+SBF1F2=12|F1F2|y1|+12|F1F2|y2|=12|F1F2|(|y1|+|y2|)，=12|F1F2|y1-y2|=122 3m2+4=12m2+13m2+4= 12m2+13(m2+1)+1= 123m2+1+ 1m2+1令 ，则 ，m2+1= t1 3m2+1+ 1m2+1=3t+1t=f(t)当 时，函数 单调递增，所以 ，t1 f(t) f(t)f(1)=4当 取得最小值 4 时， 取得最大值 3，此时 ，f(t)SABF2 r=34所以内切
16、圆的面积的最大值为 ，故选 B916【点睛】在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取9值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分.13.曲线 在点（0,0）处的切线方程为 _；y=ex21【答案】 y=12x【解
17、析】【分析】通过求导得切线斜率，再由点斜式可得切线方程.【详解】 ，则 ，故 y=12ex2 y|x=0=12 y=12x【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.14.已知实数 x,y 满足约束条件 ，则 的取值范围是_；xy0x+y0x+2y20 z=2xy【答案】 6z23【解析】【分析】作出可行域，平移直线 ，由纵截距的范围可得 z 的范围.y=2xz【详解】作出可行域如图，平移直线 ，根据图形可知，经过点 时，z 有最小y=2xz A(2,2)值，经过点 时，z 有最大值，可得 B(23,23) -6z23【点睛】 （1）利用线性规划求目标函数最值的步骤作图：画出约束条件所确
18、定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线；平移：将平行移动，以确定最优解所对应的点的位置有时需要进行目标函数和可行域边界的斜率的大小比较；求值：解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值（2）用线性规划解题时要注意的几何意义，分清与直线在 y 轴上的截距成正比例还是反比10例15.已知 ，则 =_；sin+cossincos=0 sin2【答案】 sin2=2(12)【解析】【分析】将条件平方可得 ，结合范围取舍即可.sin2【详解】由题意得 ，两边同时平方得 ，sin+cos=sincos 1+2sincos=(sincos)2即 ，解得 或 舍去sin
19、22-4sin2-4=0 sin2=2(1- 2) sin2=2(1+ 2)1【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，及正弦的二倍角公式，属于基础题.16.正三棱锥的四个顶点都在同一球面上，若该棱锥的底面边长为 ，侧棱与侧棱所成角23的余弦值为 ，则该球的表面积为_；14【答案】 16【解析】【分析】先根据余弦定理求解 ， 为 的中心，进而求得 ，所以 为PA E ABC AE=BE=CE=PE=2 E球心，球的半径 ，从而得解.r=2【详解】如图，在正三棱锥 中， 为 的中点， 为 的中心，P-ABC D BC E ABC，由余弦定理可得 ，PA=PB=PC AB2=PA2+PB2-2
20、PAPBcosAPB解得 ，即 ，PA=22 PA=PB=PC=22在 中， ，则 ，ABC AD=3 AE=2在 中， ，则 ，PAE PE= AP2-AE2=2 AE=BE=CE=PE=2故 为球心，球的半径 ，所以球的表面积为 E r=2 4r2=16【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球，属于常考考点，本题的关键在于确定球心的位11置，属于中档题.三、解答题：共 70 份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知 是数列 的前 n 项和， 是等比数列且各项均为正数，且 ，Sn an bn Sn=32n2+12n， .b1=2 b2+b3=32（1）求 和 的通项公式；an bn
21、（2）记 ，证明：数列 的前 n 项和 .cn=anbn cn Tn0 Tn0【答案】 （1）见解析；（2） 的面积为定值 .PAB 2aa【解析】【分析】（1）设点 ，则 ，易知 ，从而得M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2) P(x0，x204) x1+x2=2x0，利用求导可以得切线斜率 ，从而得证；kAB=y1-y2x1-x2=x02 kP=y|x=x0 =12x0（2）由 ，得 ，从而可得直线 ，与抛物线联立得|PM|=a0 M(x0，x204+a) l：y=x02x-x204+a，再由 ，利用韦达定理求解即可.x2-2x0x+x20-4a=0 SPAB=12|PM|x
22、1-x2|【详解】 （1）证明：设点 ，M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)则 ， ，P(x0，x204) x1+x2=2x0，y1+y2=2y0由 ，得 ，x2=4y y=14x2故 ，即抛物线 在点 处的切线的斜率为 y=12x C P kP=y|x=x0 =12x0又直线的斜率 ，即 ，kAB=y1-y2x1-x2=x214-x224x1-x2=x1+x24 =2x04=x02 kAB=kP所以直线平行于抛物线 在点 处的切线 C P（2）解：由 ，得 ，|PM|=a0 M(x0，x204+a)于是直线 ，即 l：y-(x204+a)=x02(x-x0) l：y=x02(
23、x-x0)+(x204+a)=x02x-x204+a16联立直线与抛物线 得 消去 y 得 ，C x2=4y，y=x02x-x204+a， x2-2x0x+x20-4a=0 ，x1+x2=2x0，x1x2=x20-4a，=4x20-4(x20-4a)=16a0 ，SPAB=12|PM|x1-x2|=12a (x1+x2)2-4x1x2=12a(2x0)2-4(x20-4a)=2aa故 的面积为定值 PAB 2aa【点睛】本题主要考查抛物线的定义、圆锥曲线的定值问题，属于中档题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理
24、、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.已知函数 ， .f(x)=x2+ax g(x)=exlnx（1）求证： g(x)2（2）若 有两个零点，求的取值范围.h(x)=g(x)-f(x)【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）计算 ，令 ，进而由 可得 在 上单调递增，分析导函g(x) G(x)=g(x) G(x)0 g(x) (0，+)数的正负可得存在 ，使得 ， （*） ，即得 ，从而得x0(13，1) g(x0)=ex0-1x0=0 x0=1ex0，从而得证；g(x0)=x0+1x02（2）函数 有两个零点等价于方程 有两个不同的解，又等价于h(x)
25、 ex-lnx+x2-ax=0有两个不同的解，令 ，求导，分析函数的单调性和极值即ex-lnx+x2x -a=0 H(x)=ex-lnx+x2x -a可得解.【详解】 （1）证明： 的定义域为 ， ，g(x) (0，+) g(x)=ex-1x令 ，则 ，G(x)=g(x) G(x)=ex+1x20所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增， G(x) (0，+) g(x) (0，+)， ，g(13)=e13-30故存在 ，使得 ， （*）x0(13，1) g(x0)=ex0-1x0=017当 时， ， 单调递减；x(0，x0) g(x)0 g(x)所以对 ，均有 ，x(0，+) g(x)g(x0
26、)=ex0-lnx0由（*）式可得 ，代入式得 ，x0=1ex0 g(x0)=ex0-lnx0=ex0-ln1ex0=ex0+x0=x0+1x0又 ，所以 ，当且仅当 时取“=” ，但 ，故 ，x00 x0+1x02 x0=1 x0(13,1) x0+1x02故 g(x)g(x0)2（2）解：由题得 ，h(x)=g(x)-f(x)=ex-lnx+x2-ax，x0于是函数 有两个零点等价于方程 有两个不同的解，h(x) ex-lnx+x2-ax=0因为 ，所以又等价于 有两个不同的解x0ex-lnx+x2x -a=0令 ，则 ， H(x)=ex-lnx+x2x -a H(x)=xex+lnx+x
27、2-ex-1x2再令 ，则 ，p(x)=xex+lnx+x2-ex-1 p(x)=xex+2x+1x0所以 在 上单调递增p(x) (0，+)又 ，所以当 时， ；当 时， ，p(1)=0 x(0，1) p(x)0故当 时， ；当 时， ，x(0，1) H(x)0于是当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，即 x(0，1) H(x) x(1，+) H(x) H(1)=1+e-a是 在 上的最小值，H(x) (0，+)于是，若 ，即 时，则当 时， ，H(1)=1+e-a0 a1+e x(0，1) H(x)H(1)0当 时， ，故 在 上至多有一个零点 ；x(1，+) H(x)H(1)0 H(x
28、) (0，+) x=1若 ，即 时，则当 时，由于 ， ，H(1)=1+e-a1+e x(0，1)1a(0，1) H(1)2a+1a-a=a+1a0故 在 上有且仅有一个零点 ；H(x) (0，1) x1(1a，1)同理，当 时，由于 ， ，x(1，+) a(1，+) H(1)2a+a-a=2a018故 在 上有且仅有一个零点 ，即当 时， 共有两个零点H(x) (1，+) x2(1，a) x(0，+) H(x)x1，x2综上，当 时， 有两个零点.a1+e h(x)【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范
29、围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解22.曲线 C 的极坐标方程为 ，以极坐标的极点为原点，极轴为 x 的正半轴2(4cos2)12=0建立平面直角坐标系 xoy，直线 l 的倾斜角为 ，且 l 过点 P（1， ）. 2（1）求 C 的直角坐标方程和 l 的参数方程；(2)设直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，求|PA|PB|的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2） .|PA|PB|=13+sin214， 13【解析】【分析】（1）利用 ,可得曲线 C 的直角坐标方
30、程，由直线的参数方程定义可得2=x2+y2,cos=x直线参数方程；（2）将直线的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得C，利用韦达定理可得 ，(3cos2+4sin2)t2+2(3cos+42sin)t-1=0 |PA|PB|=|t1|t2|=13+sin2参考题中参数范围求解即可.【详解】 （1） 的直角坐标方程为 ， Cx24+y23=1的参数方程为 x=1+tcos，y= 2+tsin， (t为 参 数 )（2）将直线的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得 ，C(1+tcos)24 +(2+tsin)23 =1整理得 ，(3cos2+4sin2)t2+2(3cos+42sin)t-1=0所以
31、 ， |PA|PB|=|t1|t2|=13cos2+4sin2= 13+sin2而 ，故 ，0，) sin20，119所以 .|PA|PB|=13+sin214，13【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，以及直线参数方程中参数的几何意义的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23.已知函数（1）若 恒成立，求实数 m 的最大值；（2）记（1）中 m 的最大值为 M，正数 a,b 满足 ，证明： .【答案】 （1）实数 的最大值为 2；（2）见解析.【解析】【分析】（1）将函数 写成分段函数的形式可得最小值，令 即可得解；（2）结合（1）知 ，由 ，分析可得证.【详解】 （1）解：由得 ，要使 恒成立，只要 ，即 ，故 实数 的最大值为 2 （2）证明：由（1）知 ，又 ，故 ， ， ， 【点睛】本题主要考查了含绝对值函数的去绝对值找最值及不等式的证明，具有一定的技巧性，属于中档题.
