1、- 1 -第 78讲 期中期末串讲一元二次方程(二)题一： 已知关于 x的一元二次方程 x22 x+a=0只有正整数根，试求非负整数 a的值题二： 已知关于 x的一元二次方程 2x2+4x+k1=0 有实数根， k为正整数(1)求 k的值；(2)当此方程有两个非零的 整数根时，求出这两个整数根题三： 若两个不同的关于 x的方程 x2+x+a=0与 x2+ax+1=0有一个共同的实数根，求 a的值及这两个方程的公共实数根题四： 已知方程 x2+(k+3)x+3=0和 x2+x+1 k=0有且只有一个相同的实 数根，求 k的值和这个相同的实数根题五： 已知 k是整数，且方程 x2+kx k+1=0
2、有两个不相等的正整数根，求 k的值题六： 已知关于 x的方程( k21) x26(3 k1) x+72=0的解都是正整数，求整数 k的值2第76讲 期中期末串讲-一元二 次方程(二)题一： 1详解：依题意知：关于 x的一元二次方程 x22 x+a=0一定有实根，0即 44 a0解得 a1， a是非负整数， a=1或 a=0，当 a=1时，关于 x的一元二次方程为 x22 x+1=0，解得 x1=x2=1，1 是正整数， a=1符合题意；当 a=0时，关于 x的一元二次方程为 x22 x=0，解得 x1=0， x2=2， 0 不是正整数， a=0不符合题意，故舍去综上所述，非负整数 a的值为 1
3、题二： 1，2，3； x1=x2=1详解：(1)方程 2x2+4x+k1=0 有实数根，= 4 242( k1)0， k3又 k为正整数， k=1，2，3；(2)当此方程有两个非零的整数根时，当 k=1时，方程为 x2+4x=0，解得 x1=0， x2=4；不合题意，舍去当 k=2时，方程为 2x2+4x+1=0，解得 x1=1+ ， x2=1 ；不合题意，舍去当 k=3时，方程为 2x2+4x+2=0，解得 x1=x2=1；符合题意因此 x1=x2=1 即为所求题三： 2，1详解：两个方程相减，得 x+a ax1=0，整理，得 x(1 a)(1 a)=0，即( x1)( 1 a)=0，若 a
4、1=0，即 a=1时，方程 x2+x+a=0和 x2+ax+1=0的 b24 ac都小于 0，即方程无解，故 a1，公共根是 x=1，把 x=1代入方程 x2+x+a=0，得 1+1+a=0， a=2综上所述， a的值是2，这两个方程的公共实数根是 x=1题四： 1，1详解：设两方程相同的根为 a，则 有 a2+(k+3)a+3=a2+a+1 k，即( k+2)a+k+2=0，解得 k=2 或 a=1，将 k=2 代入得： x2+x+3=0与 x2+x+3=0，不合题意，舍去；把 a=1 代入方程得：1 k3+3=0，即 k=1，此时方程为 x2+4x+3=0， x2+x=0，即相同解为 x=
5、1题五： 5详解：设方程 x2+kx k+1=0的两个不相等的正整数根为 a， b(a b)，根据根与系数的关 系，得 a+b= k， ab= k+1，消去 k，得 ab=a+b+1，即( a1)( b1)=2 a， b是正整数， a1=1， b1=2， a=2， b=3， a+b=2+3= k， k=5，因此， k的值为5题六： 1，2， 3详解：可分两种情况：如果 k21=0，那么 k=1，3当 k=1时，原方程为12 x+72=0， x=6，解是正整数，符合题意；当 k=1 时，原方程为 24x+72=0， x=3，解不是正整数，不符合题意；如果 k210，那么原方程为一元二次方程，关于 x的方程( k21 )x26(3 k1) x+72=0的解都是正整数，方程有实数根，判别式0，6( 3k1) 24( k21)720，整理， 得 k26 k+90，即( k3) 20设方程两根分别为 x1， x2，由韦达定理，得x1+x2= ()0，解得 k1 或1 k 3，x1x2= 7k0，解得 k1 或 k1，综上，得 k1， 2为整数， k21 可以为 1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72， k为整数， k21 可以为 3，8，24， 26(3)为整数， k=2，3，综上所述，整数 k的值 1，2，3
