1、第2课时 三角恒等变换与解三角形,热点考向一三角恒等变换及求值 考向剖析:本考向考查形式为选择题、填空题或解答题,主要考查利用三角恒等变换公式解决与三角函数相关的问题以及利用正(余)弦定理解三角形问题.考查数学运算与逻辑推理能力,多为基础题、中档题,分数为512分.,2019年的高考仍将以选择题、填空题或解答题的形式考查,考查知识点仍将以三角公式及正(余)弦定理为主要内容来考查.,【典例1】(1)(2016全国卷)若 则 sin 2= ( ),(2)(2018濮阳一模)设090,若sin(75+2) =- ,则sin(15+)sin(75-)= ( ),【解析】(1)选D.因为,(2)选B.s
2、in(75-)=cos(15+), 所以原式等于sin(15+)cos(15+)=sin(30+2), 而sin(30+2)=sin(75+2)-45=sin(75+2)-cos(75+2), 7575+2255,又因为sin(75+2)0, 所以18075+2255,可求得cos(75+2)= - , 所以sin(30+2)= sin(75+2)- cos(75+2) 所以,【易错警示】解答本题易出现以下两种错误:一是忽略角之间的关系,找不到解题思路;二是运算错误,得出错误结论或没有正确选项.,【名师点睛】 1.化简求值的方法与思路 (1)方法:采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类,做到
3、三角函数名称的统一; 通过三角恒等变换,化繁为简,便于化简求值. (2)基本思路:找差异,化同名(同角),化简求值.,2.解决条件求值问题的三个关注点 (1)分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角来表示未知角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.,(3)求解三角函数中给值求角的问题时,要根据已知求这个角的某种三角函数值,然后结合角的取值范围,求出角的大小.,【考向精练】 1.(2018广州一模)已知 则cos2+sin 2的值是 ( ),【解析】选A. 解得tan =2. cos2+ sin 2=cos2+sin cos =,2.(2018芜湖一模)
4、若 则 sin 2= ( ),【解析】选C.因为 所以 即2(cos +sin )= sin 2, 两边平方得:4(1+sin 2)=3sin22,即3sin22-4sin 2-4=0. 解上式得:sin 2=2(舍去)或sin 2=- .,【加练备选】 1.已知 = ( ),【解析】选B.,故 +sin cos = .,2.已知cos2= sin ,则 +cos4= ( ),【解析】选D.由cos2=sin =1-sin2 可得,热点考向二正弦定理与余弦定理的应用,类型一 利用正、余弦定理进行边、角、面积的计 算 【典例2】(2017全国卷)ABC的内角A,B,C的对边 分别为a,b,c,已
5、知ABC的面积为 . (1)求sin Bsin C. (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.,【大题小做】,【解析】(1)因为ABC面积 且S= bcsin A, 所以 = bcsin A, 所以a2= bcsin2A, 由正弦定理得sin2A= sin Bsin Csin2A, 由sin A0得sin Bsin C= .,(2)由(1)得sin Bsin C= ,又cos Bcos C= , 因为A+B+C=, 所以又因为,所以A= ,sin A= ,cos A= , 由余弦定理得a2=b2+c2-bc=9 , 由正弦定理得b= sin B,c= sin C, 所以bc
6、= sin Bsin C=8 ,由得b+c= , 所以a+b+c=3+ , 即ABC的周长为3+ .,【探究追问】 1.问题(2)中的条件不变,求ABC的面积.,【解析】由cos Bcos C= 和sin Bsin C= 得: cos Bcos C-sin Bsin C= - =- , 即cos(B+C)=- , 所以B+C= ,所以A= . 所以ABC的面积为,2.问题(2)中的条件不变,求ABC中BC边上高的长.,【解析】由上可知:ABC的面积为2 , 又因为SABC= BChBC. 所以2 = 3hBC,所以hBC= .,类型二 应用正、余弦定理解决实际问题 【典例3】如图,岛A,C相距
7、10 海里.上午9点整有一 客轮在岛C的北偏西40且距岛C10海里的D处,沿直线 方向匀速开往岛A,在岛A停留10分钟后前往B市.上午 9:30测得客轮位于岛C的北偏西70且距岛C10 海,里的E处,此时小张从岛C乘坐速度为v海里/小时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市.,(1)若v(0,30,问小张能否乘上这班客轮? (2)现测得cosBAC=- ,sinACB= .已知速度为 v海里/小时(v(0,30)的小艇每小时的总费用为元,若小张由岛C直接乘小艇去B市,则至少 需要多少费用? 世纪金榜导学号,【大题小做】,【解析】(1)根据题意得: CD=10,CE=10 ,AC=10 ,DCE
8、=70-40=30. 在CDE中,由余弦定理得,所以客轮的航行速度为102=20(海里/小时).,因为CD=DE,所以DEC=DCE=30, 所以AEC=180-30=150. 在ACE中,由余弦定理得, AC2=AE2+CE2-2AECEcosAEC, 整理得:AE2+30AE-400=0, 解得AE=10或AE=-40(舍去).,所以客轮从E处到岛A所用的时间 小时, 小张到岛A所用的时间至少为 小时. 由于t2t1+ , 所以若小张9点半出发,则无法乘上这班客轮.,(2)在ABC中,cosBAC=- ,sinACB= , 所以ACB为锐角,sinBAC= ,cosACB= . 所以sin
9、 B=sin180-(BAC+ACB)=sin(BAC +ACB)=sinBACcosACB+cosBACsinACB,由正弦定理得,所以小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为当且仅当 ,即v=10时,f(v)min=165 (元).,所以若小张由岛C直接乘小艇去B市,其费用至少需 165 元.,【名师点睛】 1.正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理. (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.,2.解三角形应用题的几种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定
10、理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解条件充分的三角形,然后逐步求解其他三角形.,(3)设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解. (4)涉及四边形等非三角形图形时,可以作辅助线,将图形分割成三角形后求解.,【考向精练】 1.(2017全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2 . (1)求cos B. (2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.,【解析】(1)由题设及A+B+C=得sin B=8sin2 , 故sin B=4(1-cos B), 上式
11、两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B= ,(2)由cos B= 得sin B= ,故SABC= acsin B=ac, 又SABC=2,则ac= ,由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2- 2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2 =4,所以b=2.,2.某学校的平面示意图为如图五边形区域ABCDE,其中 三角形区域ABE为生活区,四边形区域BCDE为教学区, AB,BC,CD,DE,EA,BE为学校的主要道路(不考虑宽度). BCD=CDE= ,BAE= ,DE=3BC=3CD= km. 世纪金榜导学号
12、,(1)求道路BE的长度. (2)求生活区ABE面积的最大值.,【解析】(1)连接BD,在BCD中,由余弦定理得:BD2= BC2+CD2-2BCCDcosBCD= ,所以BD= ,因为BC =CD,所以CDB=CBD= ,又CDE= ,所 以BDE= . 在RtBDE中,(2)设ABE=,因为BAE= , 所以AEB= -.在ABE中,由正弦定理,得所以 所以,因为0 ,所以当2- = ,即= 时,SABE 取得最大值为 ,即生活区ABE面积的最大值 为 .,【加练备选】 如图,有一个码头P和三个岛屿A,B,C,PC=30 n mile,PB=90 n mile,AB=30 n mile,
13、PCB=120, ABC=90.,(1)求B,C两个岛屿间的距离. (2)某游船拟载游客从码头P前往这三个岛屿游玩,然后返回码头P.问该游船应按何路线航行,才能使得总航程最短?求出最短航程.,【解析】(1)在PBC中,PB=90,PC=30 ,PCB=120, 由正弦定理得, 又因为在PBC中, 0PBC60,所以PBC=30, 所以BPC=30,从而BC=PC=30 ,即B,C两个岛屿间的距离为30 n mile.,(2)因为ABC=90,PBC=30, 所以PBA=ABC-PBC=90-30=60, 在PAB中, PB=90,AB=30,由余弦定理得,根据“两点之间线段最短”可知, 最短航
14、线是“PABCP”或“PCBAP”, 其航程为S=PA+AB+BC+CP=30 +30+30 +30 =30+60 +30 ,所以应按航线“PABCP”或“PCBAP”航行, 其航程为,热点考向三与解三角形有关的交汇问题 考向剖析:本考向考查形式为三种题型都可能会出现,主要考查以三角恒等变换、正、余弦定理为解题工具,常与三角函数、数列、向量、不等式等交汇命题,考查学生灵活运用知识进行逻辑推理、数学运算的能力.,2019年的高考仍将以选择题、填空题或解答题的形式考查.,【典例4】(1)在ABC中,角A,B,C所对的的边分别是a,b,c,且a,b,c成等差数列,则角B的取值范围是( ),(2)在A
15、BC中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,满足 4acos B-bcos C=ccos B. 求cos B的值; 若 =3,b=3 ,求a和c的值.,【解析】(1)选B.因为a,b,c成等差数列, 所以2b=a+c,在ABC中,由余弦定理得:由基本不等式 所以 所以B的取值范围是,(2)由题意得,4sin Acos B-sin Bcos C=sin Ccos B, 所以4sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C) =sin A,因为sin A0,所以cos B= .,由 =3得accos B=3,ac=12, 由b2=a2+c2-2accos B,
16、b=3 可得a2+c2=24, 所以(a-c)2=0,a=c,代入ac=12可得a=c=2 .,【名师点睛】与解三角形有关的交汇问题的关注点 1.根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化. 2.结合内角和定理、面积公式等,灵活运用三角恒等变换公式.,【考向精练】 已知向量m=(sin x,-1),向量 函数 (1)求f(x)的最小正周期T.,(2)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a=2 ,c=4,且 恰是f(x)在 上的最大值, 求A和b的值.,【解析】(1),(2)由(1)知: ,所以当 时,当2x- = 时f(x)取得最大值3,此时x= . 由f(A)=3得A=
17、 .,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A, 所以12=b2+16-24b , 即b2-4b+4=0,则b=2.,【加练备选】 已知向量 b=(-sin x, sin x), f(x)=ab. (1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值.,(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=1,a=2 ,求ABC面积的最大值.,【解析】(1)易得a=(-sin x,cos x), 则f(x)=ab=sin2x+ sin xcos x = - cos 2x+ sin 2x=sin(2x- )+ , 所以f(x)的最小正周期T= =, 当2x- = +2k,kZ时, 即x= +k(kZ)时,f(x)取最大值是 .,(2)因为 所以,因为a2=b2+c2-2bccos A, 所以12=b2+c2-bc, 所以b2+c2=bc+122bc, 所以bc12(当且仅当b=c时等号成立), 所以S= bcsin A= bc3 . 所以当ABC为等边三角形时面积取最大值是3 .,
