1、12018-2019 学年福建省师大附中高二上学期期中考试数学（文）试题数学注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接
2、答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1某学校为了调查高一年级的 200 名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取 20 名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从 001 到 200，抽取学号最后一位为 2 的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次是A分层抽样，简单随机抽样 B简单随机抽样，分层抽样C分层抽样，系统抽样 D简单随机抽
3、样，系统抽样2袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球.设事件 P 表示“取出的都是黑球”；事件 Q 表示“取出的都是白球”；事件 R 表示“取出的球中至少有一个黑球”则下列结论正确的是AP 与 R 是互斥事件 BP 与 Q 是对立事件CQ 和 R 是对立事件 DQ 和 R 是互斥事件，但不是对立事件3A，B 两名同学在 5 次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若 A，B 两人的平均成绩分别是 ，观察茎叶图，下列结论正确的是,xA ，B 比 A 成绩稳定xB ，B 比 A 成绩稳定C ，A 比 B 成绩稳定xD ，A 比 B 成绩稳定x4某商品的销售量 （件）与销售价格 （元/
4、件）存在线性相关关系，根据一组样本数据yx(,)1,2)iyn，用最小二乘法建立的回归方程为 102,yx则下列结论正确的是（A） 与 具有正的线性相关关系x（B）若 表示变量 与 之间的线性相关系数，则 rryx（C）当销售价格为 10 元时，销售量为 100 件（D）当销售价格为 10 元时，销售量为 100 件左右5某公司的班车在 7:30，8:00，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（A） （B） （C） （D）131223346在等差数列a n中，a 3a 927a 6，S n表示
5、数列a n的前 n 项和，则 S11A18 B99 C198 D2977如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数从1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为A B C D8设 ， ,则 是 的:2|b|； ；ba，正确的有12_15从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如下图)由图中数据可知 a_，估计该小学学生身高的中位数为_16若变量 满足约束条件 ，则 的最小值为_, 32+969 217若关于 的不等式 在区间 上有解,则实数 的取值范围为_ 2+20 1,2
6、18在 中， 为 边上一点， ， ， ，若 ，则 =3=2 =135=2_=三、解答题19在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 bsinA=acos(B )6（1）求角 B 的大小；（2）若 ，ABC 的面积为 ，求ABC 的周长=3 2320已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，160现采用分层抽样的方法从中抽取名同学去某敬老院参加献爱心活动（）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（）设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作（i）试用所给字母列举出所有可能
7、的抽取结果；（ii）设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”，求事件 M 发生的概率21已知数列 是公差为 3 的等差数列，数列 满足 ， 1=1,2=13,+1+1=（1）求 的通项公式；（2）求 的前 项和 322某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件
8、数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）， 表示购机的同时购买的易损零件数.（1）若 =19，求 y 与 x 的函数解析式；（2）若要求“需更换的易损零件数不大于 ”的频率不小于 0.8，求 的最小值； （3）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 18 个易损零件，或每台都购买 19 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 18 个还是 19 个易损零件？23已知数列 的前 项和为 ，其中 为常数 ,1=1,0,+1=1 （1）证明： ；+2=（2）是否存在 ，使得 为等差数列？并说明
9、理由 2018-2019 学 年 福 建 省 师 大 附 中高 二 上 学 期 期 中 考 试 数 学 （ 文 ） 试 题数 学 答 案参考答案1D【解析】试题分析：第一种由学生会的同学随机抽取 20 名同学进行调查，这是一种简单随机抽样，第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号，抽取学号最后一位为 2 的同学进行调查，符合采用系统抽样解：第一种由学生会的同学随机抽取 20 名同学进行调查；这是一种简单随机抽样，第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号，从 001 到 200，抽取学号最后一位为 2 的同学进行调查，对于个体比较多的总体，采用系统抽样，故选 D点评：本题考查简单随机抽样和系统抽
10、样，对于同一总体采取的两种不同抽样方式，注意两者的相同点和不同点，得到的样本可能不同，但不管用什么抽样方式，每个个体被抽到的概率相等2C【解析】【分析】找出从袋中任取 2 个球的所有可能情况，然后借助于互斥事件的概念得答案【详解】袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，取球的方法共有如下几类：取出的两球都是黑球；取出的两球都是白球；取出的球一黑一白事件 R 包括两类情况，事件 P 是事件 R 的子事件，故 A 不正确；事件 Q 与事件 R 互斥且对立，选项 C 正确,选项 D 不正确事件 P 与事件 Q 互斥，但不是对立事件，选项 B 不正确故选：C【点睛】本题考查了互斥事件与对立
11、事件，关键是对两个概念的理解，是基础的概念题3A【解析】由茎叶图可知甲的成绩为 ，平均成绩为9612038， ， ， ， 102乙的成绩为 平均成绩为91087412， ， ， ， ， 106从茎叶图上可以看出 的数据比 的数据集中， 的成绩比 的成绩稳定BABA故选 A【答案】D【解析】试题分析： 与 具有负的线性相关关系，所以 A 项错误；当销售价格为 10 元时，销售量在yx100 件左右，因此 C 错误 D 正确.B 项中-10 是回归直线方程的斜率.考点：1.最小二乘法；2.线性相关性.5B【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每 30 分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度
12、为 40，等车不超过 10 分钟的时间长度为 20，故所求概率为 ，选 B.2014【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.6B【解析】【分析】由题设条件结合等差数列的通项公式知先求出 a6，再由等差数列的前 n 项和公式求出 S11【详解】a 3+a9=27a 6，3a 6=27，a 6=9， s11=11（ a1+a11）2 =11a6=99故选：B【点睛】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意等差数列的通项公式和前 n 项和公式的灵活运用7C【解析】试题分析：从 中任取 个不同的数有1,2,3,4,
13、53(1,2,3)， (1,2,4)， (1,2,5)， (1,3， 4)， (1,3,5)， (1,4,5)， (2,3， 4)，共 种不同的方法，其中只有 为勾股数，故这三个数构成一(2,3,5)， (2,4， 5)， (3,4,5)10 (3,4,5)组勾股数的概率为 ，故选 C110考点：古典概型中某事件发生的概率8A【解析】【分析】p： ，解得 0x8，q： ,解得 ，再求 即可判断出关23【解析】【分析】用分离参数法得出不等式 m x 在 x1，2上成立，根据函数 f（x）= x 在-2x -2xx1，2上的单调性，即可求出 a 的取值范围【详解】关于 x 的不等式 x2+mx+2
14、0 在区间1，2上有解，mx-2x 2在 x1，2上有解，即 m x 在 x1，2上有解； -2x设函数 f（x）= x，x1，2，-2xf（x）= 1= =0 的根 x=2x2 2-x2x2 2f（x）在1， 上是单调递增，在 ，2上是单调递减.2 2x= ，f（x） = f（ ）=-22 2 2f（1）=-3 ，f（ ）=-32且 f（x）的值域为（-3，-2 ，2要 m x 在 x1，2上有解，则 m3，-2x故答案为：（3，+）【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了函数的图象的单调性与性质的应用问题，是综合性题.18 2+5【解析】试题分析：设 ，=,=,=,=,=2在 中
15、有： ，在 中有： ，又 2=2+22135=2+222135=2+2+2，代入得 ，解得 =2 424+2=2(2+2+2) =2+5考点：余弦定理【名师点睛】在本题中，已知 被分成两个三角形 ，它们公共边 长度已知， , 相邻的解 已知，还知道的是两个三角形中另外两对边的比例，要解这个三角形，可用余弦定理把两个三角形联系起来，根据已知角，用余弦定理分别求出 ，再由 的关系可求得, ,，接着可求得 及各个角如果已知两个角，还可以用正弦定理建立关系，以便求解, ,19（1） ；（2）3 3+33【解析】【分析】（1）由正弦定理得 ，又由 bsinA=acos(B )得 B= .（2）利用面积公
16、式和余弦=6 3定理得出 ，即周长可求 .+=33【详解】（1）解：在ABC 中，由正弦定理 ，可得 ，又由= =，得 ，即 ，可得 又因为=(6) =(6) =(6) =3，可得 B= (0 ， )3（2）因为ABC 的面积为 ，所以 ，所以 ，又因为23123=23 =8，所以 ，所以ABC 的周长为9=2+223=(+)23 +=33 3+33【点睛】本题考查的知识点：正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题20（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）521【解析】分析：（）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人，2人，2 人
17、（）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有 21 种（ii）由题意结合（ i）中的结果和古典概型计算公式可得事件 M 发生的概率为 P（ M）= 521详解：（）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人，2 人，2 人（）（i）从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为A， B， A， C， A， D， A， E， A， F， A， G， B， C， B， D， B， E， B， F，B， G， C， D， C， E， C， F， C， G， D， E， D，
18、 F， D， G， E， F， E， G， F， G，共 21 种（ii）由（），不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A， B， C，来自乙年级的是D， E，来自丙年级的是 F， G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为 A， B， A， C， B， C， D， E， F， G，共 5 种所以，事件 M 发生的概率为 P（ M）= 521点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力21（1） ；（2）=31=214(13)16+74【解析】【分析】（1）
19、利用递推关系可得 a1利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出 an.（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出【详解】（1）由已知， 得 ，12+2=1,1=1,2=13, 1=2所以数列 是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为 . =31（2）由（1）和 ，得 ，又因为 因此 是首项为 1，公+1+1=+1=3 比为 的等比数列 .所以， 通项公式为 ，所以 记 的前13 =(13)1 =(31)(13)1 项和为 T ，则 n ，T = n214(13)16+74【点睛】本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算
20、能力，属于中档题22（1） ；（2）20；（3）见解析=3800,195005700,19 【解析】【分析】（1）若 n=19，结合题意，可得 y 与 x 的分段函数解析式；（2）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.8，可得 n 的最小值；（3）分别求出每台都购买 18 个易损零件，或每台都购买 19 个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案【详解】（1）当 时， ；当 时， ，所以与 的函数解析式为 .（2）由柱状图知，需更换的零件数不大于 19 的概率为 0.7，需更换的零件数不大于 20 的概率为 0.9，故 的最小值为 20.（3）若每台机
21、器在购机同时都购买 18 个易损零件，则这 100 台机器中有 46 台在购买易损零件上的费用为 3600，24 台的费用为 4100，20 台的费用为 4600，10 台的费用为 5100，因此这 100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 4070.若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3800，20 台的费用为 4300，10 台的费用为 4800，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 4000.比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.【点睛】本题考查的知识点是分段函数
22、的应用，频率分布条形图，做方案的选择时，把每种方案的结果计算出来进行比较即可，难度中档23（1）证明见解析；（2） .=4【解析】试题分析：（I）对于含 递推式的处理，往往可转换为关于项 的递推式或关于 的递推, 式结合结论，该题需要转换为项 的递推式故由得 两式相减得结论；（II）对于存在性问题，可先探求+1=1 +1+2=+11参数的值再证明本题由 ， ， ，列方程得 ，从而求1=1 2=1 3=+1 22=1+3出 得 ，故数列 的奇数项和偶数项分别为公差为 4 的等差数列分别求通项=4 +2=4 公式，进而求数列 的通项公式，再证明等差数列试题解析：（I）由题设， ， 两式相减得，+1=1 +1+2=+11+1(+2)=+1由于 ，所以 +10 +2=（II）由题设， ， ，可得 ，由（I）知， 令1=1 12=11 2=1 3=+1，解得 22=1+3 =4故 ，由此可得， 是首项为 1，公差为 4 的等差数列，+2=4 21；21=1+(1)4=43是首项为 3，公差为 4 的等差数列， 2 2=3+(1)4=41所以 ， =21 +1=2因此存在 ，使得 为等差数列=4 【考点定位】1、递推公式；2、数列的通项公式；3、等差数列
