1、1小题专练作业(二) 平面向量、复数1(2018全国卷)设 z 2i，则| z|( )1 i1 iA0 B.12C1 D. 2解析 解法一：因为 z 2i 2i 2ii，所以1 i1 i 1 i 2 1 i 1 i 2i2|z| 1。故选 C。0 12解法二：因为 z 2i ，所以| z| |1 i1 i 1 i 2i 1 i1 i 1 i1 i 1 i1 i 1，故选 C。| 1 i|1 i| 22答案 C2.(2018福州联考)如果复数 z ，则( )2 1 iA.z 的共轭复数为 1i B z 的实部为 1C.|z|2 D z 的实部为1解析 因为 z 1i，所以 z 的实部为2 1 i
2、 2 1 i 1 i 1 i 2 2i21，故选 D。答案 D3.(2018福建质检)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征。正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以 A， B， C， D， E 为顶点的多边形为正五边形，且 。下列关系中正确的是( )PTAT 5 122A. B. BP TS 5 12 RS CQ TP 5 12 TS C. D. ES AP 5 12 BQ AT BQ 5 12 CR 解析 结合题目中的图形可知 。故选 A。BP TS TE TS SE 25 1RS 5 12 RS 答案 A4.(2018贵阳摸底)如
3、图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，平行四边形 ABCD 的顶点 D 被阴影遮住，找出 D 点的位置， 的值为( )AB AD A.10 B11,C.12 D13解析 以点 A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， A(0,0)， B(4,1)， C(6,4)，根据四边形 ABCD 为平行四边形，可以得到 D(2,3)，所以 (4,1)(2,3)AB AD 8311。故选 B。答案 B5.(2018武汉调研)已知复数 z 满足 z| z|3i，则 z( )A.1i B1i C. i D. i43 43解析 设 z a bi，其中 a， bR，由 z| z|3i，得 a bi 3i，由
4、a2 b23复数相等可得Error!解得Error!故 z i。故选 D。43答案 D6(2018南宁摸底)已知 O 是 ABC 内一点， 0， 2 且OA OB OC AB AC BAC60，则 OBC 的面积为( )A. B.33 3C. D.32 23解析 因为 0，所以 O 是 ABC 的重心，于是 S OBC S ABC。因OA OB OC 13为 2，所以| | |cos BAC2，因为 BAC60，所以| | |4。AB AC AB AC AB AC 又 S ABC | | |sin BAC ，所以 OBC 的面积为 。故选 A。12AB AC 3 33答案 A7(2018天津高
5、考)在如图的平面图形中，已知 OM1， ON2， MON120，2 ， 2 ，则 的值为( )BM MA CN NA BC OM A15 B9C6 D0解析 由 2 ，可知 2，所以 3。由 2 ，可知 2，所以BM MA |BM |MA |BA |MA | CN NA |CN |NA |3，故 3，连接 MN，则 BC MN 且| |3| |。所以 3 3( |CA |NA |BA |MA |CA |NA | BC MN BC MN ON )，所以 3( ) 3( 2)3(| | |cos120 2)OM BC OM ON OM OM ON OM OM ON OM |OM |6。故选 C。4
6、答案 C8(2018武汉调研)设 A， B， C 是半径为 1 的圆 O 上的三点，且 ，则OA OB ( )( )的最大值是( )OC OA OC OB A1 B12 2C. 1 D12解析 解法一：如图，作出 ，使得 ，( )( )OD OA OB OD OC OA OC OB 2 1( ) 1 ，由图可知，当点 C 在OC OA OC OB OC OA OB OA OB OC OD OC OD 的反向延长线与圆 O 的交点处时， 取得最小值，最小值为 ，此时OD OC 2( )( )取得最大值，最大值为 1 。故选 A。OC OA OC OB 2解法二：如图 A(1,0)， B(0,1)
7、，设 C(cos ，sin )，则( )( )OC OA OC OB (cos 1，sin )(cos ，sin 1)cos 2 cos sin 2 sin 1 sin2，所以所求为 1 。( 4) 2答案 A9(2018天津高考)i 是虚数单位，复数 _。6 7i1 2i5解析 4i。6 7i1 2i 6 7i 1 2i 1 2i 1 2i 20 5i5答案 4i10(2018江苏高考)若复数 z 满足 iz12i，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为_。解析 复数 z (12i)(i)2i 的实部是 2。1 2ii答案 211(2018合肥质检)已知平面向量 a， b 满足| a|1，|
8、 b|2，| a b| ，则 a3在 b 方向上的投影等于_。解析 解法一：因为| a|1，| b|2，| a b| ，所以( a b)32| a|2| b|22 ab52 ab3，所以 ab1，所以 a 在 b 方向上的投影为 。ab|b| 12解法二：记 a ， a b ， b ，由题意知| |1，| | ，| |2，则OA OB AB OA OB 3 AB 2 2 2， AOB 是直角三角形，且 OAB ，所以 a 在 b 方向上的投影为|OA | |OB | |AB | 3|cos 1 。OA ( 3) ( 12) 12答案 1212(2018惠州调研)在四边形 ABCD 中， ， P
9、 为 CD 上一点，已知| |8，|AB DC AB |5， 与 的夹角为 ，且 cos ， 3 ，则 _。AD AB AD 1120 CP PD AP BP 解析 因为 ， 3 ，所以 ， ，又AB DC CP PD AP AD DP AD 14AB BP BC CP AD 34AB | |8，| |5，cos ，所以 85 22，所以 AB AD 1120 AD AB 1120 AP BP (AD 14AB ) 2 25 211 822。(AD 34AB ) |AD | 12AD AB 316|AB | 316答案 213.(2018广东二模)如图，半径为 1 的扇形 AOB 中， AOB
10、 ， P 是弧 AB 上的一23点，且满足 OP OB， M， N 分别是线段 OA， OB 上的动点，则 的最大值为( )PM PN 6A B22 32C1 D 2解析 因为扇形 AOB 的半径为 1，所以| |1，因为 OP OB，所以 0。因为OP OP OB AOB ，所以 AOP ，所以 ( )( )23 6 PM PN PO OM PO ON 2 1| |cos | | |cos 10 0PO ON PO OM PO OM ON OM 56 OM ON 23 ( 32) 1。故选 C。(12)答案 C14(2018洛阳联考)已知点 O 是锐角三角形 ABC 的外心，若 m n (m
11、， nR)，OC OA OB 则( )A m n2 B2 m n1(舍去)，所以 m n1。故选 C。答案 C15在 ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 3 ，点 O 在线段 CD 上(与点BC CD C， D 不重合)，若 x (1 x) ，则 x 的取值范围是_。AO AB AC 解析 依题意，设 ，其中 1 ，则有BO BC 43 ( )(1 ) ，又 x (1 x) ，且AO AB BO AB BC AB AC AB AB AC AO AB AC 7， 不共线，于是有 x1 ，由 知， x ，即 x 的取值范围是AB AC (1， 43) ( 13， 0)。(13， 0)答案 (13， 0)16已知向量 a， b， c 满足| a|2| b|2， ab0，( c a)(c b)0，则| c2 a|的最小值为_。解析 由题意，设 a(2,0)， b(0,1)， c( x， y)，则( x2， y)(x， y1)0，即 x2 y22 x y0，即( x1) 2 2 ，| c2 a|的几何意义是圆( x1) 2 2(y12) 54 (y 12)上的点到点(4,0)的距离，故其最小值为 。54 32 (12)2 52 37 52答案 37 52
