1、12.1 向量的概念及表示学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念知识点一 向量的概念思考 1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？答案 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向思考 2 两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？答案 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小梳理 向量与数量(1)向量：既有大小，
2、又有方向的量称为向量(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量知识点二 向量的表示方法思考 1 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？答案 可以用一条有向线段表示思考 2 0 的模是多少？0 有方向吗？答案 0 的模为 0，方向任意思考 3 单位向量的模是多少？答案 单位向量的模为 1 个单位长度梳理 (1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示以 A 为起点、 B 为终点的有向线段记作 .AB (2)向量的字母表示：向量可以用字母 a， b， c，表示(印刷用粗体 a， b， c，书写时用 ，a ， )b
3、 c 2(3)向量 的大小，也就是向量 的长度(或称模)，即有向线段 的长度，记作| |.长度AB AB AB AB 为 0 的向量称为零向量，记作 0；长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量知识点三 向量间的关系思考 1 已知 A， B 为平面上不同两点，那么向量 和向量 相等吗？它们共线吗？AB BA 答案 因为向量 和向量 方向不同，所以二者不相等又表示它们的有向线段在同一直AB BA 线上，所以两向量共线思考 2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？答案 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线
4、向量因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合思考 3 若 a b， b c，那么一定有 a c 吗？答案 不一定因为当 b0 时， a， c 可以是任意向量梳理 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量记法：向量 a 平行于 b，记作 a b.规定：零向量与任一向量平行(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆1向量就是有向线段( )提示 向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量
5、就是有向线段2若 a， b 都是单位向量，则 a b.( )提示 a 与 b 都是单位向量，则| a| b|1，但 a 与 b 方向可能不同3若 a b，且 a 与 b 的起点相同，则终点也相同( )提示 若 a b，则 a 与 b 的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同类型一 向量的概念例 1 下列说法中，正确的是向量 与向量 的长度相等；AB BA 3两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同；零向量没有方向；两个相等向量的起点相同，则终点也相同答案 解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；故都错误，
6、正确反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题跟踪训练 1 下列说法正确的有(填序号)若| a| b|，则 a b 或 a b；向量 与 是共线向量，则 A， B， C， D 四点必在同一条直线上；AB CD 向量 与 是平行向量AB BA 答案 解析 错误| a| b|仅说明 a 与 b 的模相等，不能说明它们方向的关系错误共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量 ， 必须在同AB CD 一直线上，因此点 A， B， C， D 不一定在同一条直线上正确向量 和 是长度相等，方向相反的两个向量AB BA 类型二 共线向量与相等向量例 2 如
7、图所示， ABC 的三边均不相等， E， F， D 分别是 AC， AB， BC 的中点(1)写出与 共线的向量；EF (2)写出与 的模相等的向量；EF (3)写出与 相等的向量EF 解 (1)因为 E， F 分别是 AC， AB 的中点，所以 EF BC， EF BC.12 12又因为 D 是 BC 的中点，所以与 共线的向量有 ， ， ， ， ， ， .EF FE BD DB DC CD BC CB 4(2)与 模相等的向量有 ， ， ， ， .EF FE BD DB DC CD (3)与 相等的向量有 与 .EF DB CD 反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反(2)
8、共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线跟踪训练 2 如图所示， O 是正六边形 ABCDEF 的中心(1)与 的模相等的向量有多少个？OA (2)是否存在与 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？OA (3)与 共线的向量有哪些？OA 解 (1)与 的模相等的线段是六条边和六条半径(如 OB)，而每一条线段可以有两个向量，OA 所以这样的向量共有 23 个(2)存在由正六边形的性质可知， BC AO EF，所以与 的长度相等、方向相反的向量有OA ， ， ， ，共 4 个AO OD FE BC (3)由(2)知， BC OA EF，线段 OD， AD 与 OA 在同一条直线上，所以与
9、共线的向量有 ，OA BC ， ， ， ， ， ， ， ，共 9 个CB EF FE AO OD DO AD DA 类型三 向量的表示及应用例 3 一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100km 到达 B 点，然后又改变方向，向西偏北 50的方向走了 200km 到达 C 点，最后又改变方向，向东行驶了 100km 到达 D 点(1)作出向量 ， ， ；AB BC CD (2)求| |.AD 解 (1)向量 ， ， 如图所示AB BC CD 5(2)由题意，易知 与 方向相反，故 与 共线，AB CD AB CD | | |，AB CD 在四边形 ABCD 中， AB CD， AB CD，四边形
10、 ABCD 为平行四边形， ，| | |200km.AD BC AD BC 反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点跟踪训练 3 在如图的方格纸上，已知向量 a，每个小正方形的边长为 1.(1)试以 B 为终点画一个向量 b，使 b a；(2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c，使| c| ，并说出向量 c 的终点的轨迹是什么？5解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量 a 平行，且长度相等(作图略)(2)由 平 面 几 何 知 识 可 知 所 有 这 样 的 向 量 c 的 终 点 的 轨 迹 是 以 A 为 圆 心 ， 半
11、径 为 的 圆 (作 图 略 )51下列结论正确的个数是温度含零上和零下温度，所以温度是向量；向量的模是一个正实数；向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量；若| a|b|，则 ab.答案 1解析 温度没有方向，所以不是向量，故错；向量的模也可以为 0，故错；向量不可以比较大小，故错；若 a， b 中有一个为零向量，则 a 与 b 必共线，故 a 与 b 不共线，则应均为非零向量，故对2有下列说法：若向量 a 与向量 b 不平行，则 a 与 b 方向一定不相同；若 a b，则 a 一定不与 b 共线；由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行6其中，正确说法的个数是答案 1解析
12、 对于，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故正确；对于，两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以 a 与 b 有共线的可能，故错误；对于，因为零向量与任一向量平行，故错误3把同一平面内所有模不小于 1，不大于 2 的向量的起点，移到同一点 O，则这些向量的终点构成的图形的面积为答案 3解析 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为 22123.4.如图所示，以 12 方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中(1)写出与 ， 相等的向量；AF AE (2)写出与 模相等的向量AD 解 (1) ， .(2) ， ， .AF BE CD AE BD DA
13、 CF FC 1向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用2共线向量与平行向量是一组等价的概念两个共线向量不一定要在一条直线上当然，同一直线上的向量也是平行向量3注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆一、填空题1下列物理量：质量；速度；位移；力；加速度；路程其中是向量的有个答案 4解析 是向量2下列说法中正确的个数是7 一 个 向 量 方 向 不 确 定 当 且
14、仅 当 模 为 0； 共 线 的 向 量 ， 若 起 点 不 同 ， 则 终 点 一 定 不 同 ； 单位向量的模都相等答案 23已知| |1，| |2，若 ABC90，则| |.AB AC BC 答案 3解析 由勾股定理可知， BC ，所以| | .AC2 AB2 3 BC 34.如图， O 是正三角形 ABC 的中心，四边形 AOCD 和 AOBE 均为平行四边形，则图中所示向量与向量 相等的向量为；图中所示向量与向量 共线的向量为；图中所示向量与向量AD OA 的模相等的向量为(填图中所画出的向量)OA 答案 ， ， ， ， ，OC DC EB OB OC DC EB AD 解析 O 是
15、正三角形 ABC 的中心， OA OB OC，易知四边形 AOCD 和四边形 AOBE 均为菱形，与 相等的向量为 ；与 共线的向量为 ， ；与 的模相等的向量为 ，AD OC OA DC EB OA OB ， ， ， .OC DC EB AD 5若 a0是与 a 同向的单位向量，则向量 与单位向量 a0的长度的大小关系是a|a|答案 相等解析 依题意， a 是非零向量， 表示与 a 同向的单位向量a|a|6如图所示，已知 AD3， B， C 是线段 AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模为 2 的向量有答案 ， ， ，AC CA BD DB 解析 模为 2 的向量有 ， ， ，
16、 .AC CA BD DB 7以下命题：| a|与| b|是否相等与 a， b 的方向无关；两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；单位向量都是共线向量其中，正确命题的个数是答案 28解析 错误8在四边形 ABCD 中，若 且| | |，则四边形的形状为AB DC AB AD 答案 菱形解析 ， AB DC， AB DC，四边形 ABCD 是平行四边形，AB DC 又| | |，四边形 ABCD 是菱形AB AD 9给出以下 5 个条件： a b；| a| b|； a 与 b 的方向相反；| a|0 或| b|0； a 与 b 都是单位向量其中能使
17、a b 成立的是(填序号)答案 解析 相等向量一定是共线向量，故能使 a b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，故能使 a b；零向量与任一向量平行，故成立10.如图，若四边形 ABCD 为正方形， BCE 为等腰直角三角形，则：(1)图中与 共线的向量有；AB (2)图中与 相等的向量有；AB (3)图中与 的模相等的向量有；AB (4)图中与 相等的向量有EC 答案 (1) ， ， ， ， ， ，DC BE BA CD EB AE EA (2) ，DC BE (3) ， ， ， ， ， ， ， ，BA BE EB DC CD AD DA BC CB (4)BD 二、解答题11一辆消防车从
18、 A 地去 B 地执行任务，先从 A 地向北偏东 30方向行驶 2 千米到达 D 地，然后从 D 地沿北偏东 60方向行驶 6 千米到达 C 地，从 C 地又向南偏西 30方向行驶 2 千米才到达 B 地(1)画出 ， ， ， ；AD DC CB AB (2)求 B 地相对于 A 地的位置向量9解 (1)向量 ， ， ， 如图所示AD DC CB AB (2)由题意知 ，AD BC AD BC， AD BC，则四边形 ABCD 为平行四边形， ，则 B 地相对于 A 地的位置向量为“北偏东 60，长度为 6 千米” AB DC 12如图，已知 .求证：AA BB CC (1) ABC A B
19、C；(2) ， .AB A B AC A C 证明 (1) ，AA BB | | |，且 .AA BB AA BB 又点 A 不在 上， AA BB，BB 四边形 AA B B 是平行四边形，| | |.AB A B 同理| | |，| | |.AC A C BC B C ABC A B C.(2)四边形 AA B B 是平行四边形， ，且| | |，AB A B AB A B .同理可证 .AB A B AC A C 13如图的方格纸由若干个边长为 1 的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点 A， B.点10C 为小正方形的顶点，且| | .AC 5(1)画出所有的向量 ；AC (2)求
20、| |的最大值与最小值BC 解 (1)画出所有的向量 ，如图所示AC (2)由(1)所画的图知，当点 C 位于点 C1或 C2时，| |取得最小值 ；BC 12 22 5当点 C 位于点 C5或 C6时，| |取得最大值 .BC 42 52 41所以| |的最大值为 ，最小值为 .BC 41 5三、探究与拓展14设 a0， b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是(填序号) a0 b0； a0 b0；| a0| b0|2； a0 b0.答案 15.如图， D， E， F 分别是正三角形 ABC 各边的中点(1)写出图中所示向量与向量 长度相等的向量；DE (2)写出图中所示向量与向量 相等的向量；FD 11(3)分别写出图中所示向量与向量 ， 共线的向量DE FD 解 (1)与 长度相等的向量是 ， ， ， ， ， ， ， .DE EF FD AF FC BD DA CE EB (2)与 相等的向量是 ， .FD CE EB (3)与 共线的向量是 ， ， ；DE AC AF FC 与 共线的向量是 ， ， .FD CE EB CB
