1、1考点规范练 32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固组1.若点(1, b)在两条平行直线 6x-8y+1=0 和 3x-4y+5=0 之间,则 b 应取的整数值为( )A.2 B.1 C.3 D.0答案 B解析 由题意知(6 -8b+1)(3-4b+5)0,如下图,当 z=x+y 时,对应的点落在直线 x-2y=0 的左上方,此时 - z2;当 z=2x-y 时,对应32的点落在直线 x-2y=0 的右下方,此时 - z3 .故选 D.323.若变量 x,y 满足 则 x2+y2的最大值是( )x+y 2,2x-3y 9,x 0, A.4 B.9 C.10 D.12答案 C解析
2、 如图,不等式组表示的可行域是以 A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域, x2+y2表示点(x,y)到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值 |OC|2=10,故选 C.24.已知实数 x,y 满足 则目标函数 z=x-y 的最小值等于( )x+y-2 0,2x-y+2 0,y 0, A.-1 B.-2 C.2 D.1答案 B解析 由不等式组得到可行域如下图中阴影部分 .目标函数可变形为 y=x-z,当此直线经过图中点 B时 z 最小,所以最小值为 z=0-2=-2.故选 B.5.设集合 A= ,则 A 表示的平面区域的面积是( )(x,y)| x-y-1
3、 0,3x-y+1 0,x,y R3x+y-1 0, A B C D.1. 2 .32 .322答案 B解析 画出不等式组 所表示的平面区域如图中阴影部分所示,x-y-1 0,3x-y+1 0,3x+y-1 0联立 得 A(0,1),3x+y-1=0,3x-y+1=0,联立 3x-y+1=0,x-y-1=0,3得 B ,(-1,-2)联立 3x+y-1=0,x-y-1=0,得 C(12,-12).设直线 x-y-1=0 交 y 轴于点 D(0,-1),则不等式组表示的平面区域的面积为S=S ABD+S ACD= 21+ 2 故选 B.12 12 12=32.6.(2018 浙江高考)若 x,y
4、 满足约束条件 则 z=x+3y 的最小值是 ,最大值是 .x-y 0,2x+y 6,x+y 2,答案 -2 8解析 由约束条件 画出可行域,如图所示的阴影部分 .x-y 0,2x+y 6,x+y 2由 z=x+3y,可知 y=- x+13 z3.由题意可知,当目标函数的图象经过点 B 时, z 取得最大值,当目标函数的图象经过点 C 时, z 取得最小值 .由 此时 z 最大 =2+32=8,y=x,2x+y=6,得 x=2,y=2,由 2x+y=6,x+y=2,得 x=4,y= -2,此时 z 最小 =4+3(-2)=-2.7.若实数 x,y 满足不等式 的最小值是 ;|2x-y-2|的最
5、大值是 .x-2y+8 0,x-y-1 0,2x+y-4 0,则 yx+1答案 9144解析 不等式组表示的可行域为如图的 ABC 及内部区域,其中 A ,B(10,9),C(0,4), =kPQ,其(53,23) yx+1中 Q(-1,0),P 是可行域内的点,由图可知, kPQ的最小值为 kQA= ,14|2x-y-2|= d,其中 d 为可行域内点到直线 2x-y-2=0 的距离,5|2x-y-2|5 = 5由图可知当点 P 与点 B 重合时,取到最大,其值为 9.8.若函数 y=kx 的图象上存在点( x,y)满足约束条件 则实数 k 的最大值为 .x+y-3 0,x-2y-3 0,x
6、 1, 答案 2解析 约束条件对应的平面区域是以点(1,2),(1, -1)和(3,0)为顶点的三角形,当直线 y=kx 经过点(1,2)时, k 取得最大值 2.能力提升组9.在平面上,过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影,由区域中的点在直线 x+y-2=0 上的投影构成的线段记为 AB,则 |AB|=( )x-2 0,x+y 0,x-3y+4 0A.2 B.4 C.3 D.62 2答案 C解析 画出不等式组 表示的平面区域如图阴影部分所示 .x-2 0,x+y 0,x-3y+4 0作出直线 x+y-2=0.设直线 x-3y+4=0 与 x+y=0 的交点为
7、 C,直线 x=2 与直线 x+y=0 的交点为 D.5过 C 作 CA直线 x+y-2=0 于点 A,过 D 作 DB直线 x+y-2=0 于点 B,则区域中的点在直线 x+y-2=0 上的投影为 AB. 直线 x+y-2=0 与直线 x+y=0 平行, |CD|=|AB|.由 x-3y+4=0,x+y=0, 得 x= -1,y=1, C 点坐标为( -1,1).由 D 点坐标为(2, -2).x=2,x+y=0,得 x=2,y= -2, |CD|= =3 ,即 |AB|=3 故选 C.9+9 2 2.10.(2018 浙江绍兴 5 月模拟)已知实数 x,y 满足约束条件 目标函数 z=x-
8、y 的最小值y 1,y 2x-1,x+y m,为 -1,则实数 m=( )A.7 B.5 C.4 D.1答案 B解析 绘制题干中不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,联立直线方程 可得交点 A 的坐标为 由目标函数的几何意义可知目y=2x-1,y= -x+m (m+13,2m-13 ).标函数在点 A 处取得最小值,即有 =-1,解得 m=5.故选 B.m+13 -2m-1311.若变量 x,y 满足约束条件 且 z=ax+3y 的最小值为 7,则 a 的值为( )x+y 3,x-y -1,2x-y 3,A.1 B.2 C.-2 D.不确定答案 B6解析 由约束条件 作出可行域如图中阴影部
9、分,x+y 3,x-y -1,2x-y 3 联立方程组求得 A(2,1),B(4,5),C(1,2),化目标函数 z=ax+3y 为 y=- x+a3 z3.当 a0 时,由图可知,当直线 y=- x+ 过点 A 或点 C 时,直线在 y 轴上的截距最小, z 有最小值 .a3 z3若过点 A,则 2a+3=7,解得 a=2;若过点 C,则 a+6=7,解得 a=1,不合题意 .当 a0,b0,求 ab 的最大值;(23)=203(2)当 x0,1时, f(x)1 恒成立,且 2a+3b3,求 z= 的取值范围 .a+b+2a+1解 (1)f (x)=(3a-2)x+b-a,f ,(23)=203a+b- ,即 a+b=8.43=203a+b 2 ,4 ,ab16,ab aba 0,b0,当且仅当 a=b=4 时等号成立, (ab)max=16.(2) 当 x0,1时, f(x)1 恒成立,且 2a+3b3,且 2a+3b3,即 f(0) 1,f(1) 1, b-a 1,b+2a 3,2a+3b 3,满足此不等式组的点( a,b)构成图中的阴影部分,10由图可求得经过两点( a,b)与( -1,-1)的直线的斜率的取值范围是z= +1 的取值范围是25,2. a+b+2a+1 =b+1a+1 75,3.
