1、9.2 点与直线、两条直线的 位置关系,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.两直线的位置关系,-4-,知识梳理,双击自测,注意 (1)当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1l2. (2)当其中一条直线l1的斜率不存在,而另一条直线l2的斜率为0时,l1l2.,-5-,知识梳理,双击自测,3.有关距离 (1)两点间的距离 平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离|P1P2|= . (2)点到直线的距离 平面上一点P(x0,y0)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离d= . (3)两平行线间的距离 已知l1,l2是平行线,求l1,l2间距离的方法: 求一条直线上一点到另
2、一条直线的距离; 设l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则l1与l2之间的距离d= .,-6-,知识梳理,双击自测,4.过两直线交点的直线系方程 若已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0相交,则方程A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(其中R,这条直线可以是l1,但不能是l2)表示过l1和l2交点的直线系方程.,-7-,知识梳理,双击自测,1.已知直线l1:x+(a-2)y-2=0,l2:(a-2)x+ay-1=0,则“a=-1”是“l1l2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条
3、件,答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,2.已知直线2x+(m+1)y+4=0与mx+3y-2=0平行,则m等于( ) A.2 B.-3 C.2或-3 D.-2或-3,答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,3.已知P(-2,m),Q(m,4),且直线PQ垂直于直线x+y+1=0,则m= .,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,4.已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2的距离是 ,则直线l1的方程为 .,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,5.若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a= .,答案,解析,-12-,
4、知识梳理,双击自测,自测点评 1.对于直线l1与直线l2相互平行(垂直)的条件一定要注意其适用范围. 2.求解点到直线、两平行线间的距离时,注意直线方程要用一般式. 3.对称问题是解析几何中的常见问题,尤其要掌握好点关于线的轴对称与线关于点的中心对称这两种基本形态.,-13-,考点一,考点二,考点三,考点四,两条直线的平行与垂直(考点难度) 【例1】 已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0,则“l1l2”是“a=-1”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,-14-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总
5、结1.对于两直线平行或垂直的问题,解题时先要明确两条直线的斜率情况,再进行运算. 2.直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论: (1)设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1l2A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C10. (2)设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1l2A1A2+B1B2=0. 3.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0;与之垂直的直线方程可设为Bx-Ay+n=0.,-15-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+
6、y+b=0,求满足下列条件的a,b的值. (1)l1l2,且l1过点(-3,-1); (2)l1l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.,解:(1)由已知可得直线l2的斜率存在,且k2=1-a. 若k2=0,则1-a=0,a=1. l1l2,直线l1的斜率k1必不存在,即b=0. 又直线l1过点(-3,-1),-16-,考点一,考点二,考点三,考点四,又直线l1过点(-3,-1),-3a+b+4=0.(*) 由(*)(*)联立,解得a=2,b=2. (2)直线l2的斜率存在,l1l2,直线l1的斜率也存在,且,-17-,考点一,考点二,考点三,考点四,直线的交点问题(考点难度) 【例2】 当0
7、k 时,直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案,解析,-18-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结1.两直线相交,其交点坐标一般是通过联立两直线方程组成方程组进行求解. 2.常见的三大直线系方程 (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(mR,且mC). (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(mR). (3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0
8、(R),但不包括l2.,-19-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练已知直线y=kx+2k+1与y=- x+2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是 .,-20-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法二 如图,已知直线y=- x+2与x轴、y轴分别交于点A(4,0),B(0,2). 而直线方程y=kx+2k+1可变形为y-1=k(x+2),表示这是一条过定点P(-2,1),斜率为k的动直线. 两直线的交点在第一象限, 两直线的交点必在线段AB上(不包括端点), 动直线的斜率k需满足kPAkkPB.,-21-,考点一,考点二,考点三,考点四,距离公式的应用(考点难度) 【例3】 已知直线
9、l过点P(3,4),且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l的方程为 .,答案,解析,-22-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结1.运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式;运用两平行线的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y的系数化为相同的形式. 2.运用两平行直线间的距离公式d= 的前提是两方程中的x,y的系数应分别相等.,-23-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练已知三条直线:l1:2x-y+a=0(a0);l2:-4x+2y+1=0;l3:x+y-1=0,且直线l1与l2间的距离是 . (1)求a的值; (2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件
10、: 点P在第一象限;,若能,求点P的坐标;若不能,请说明理由.,-24-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)假设存在点P,设点P的坐标为(x0,y0). 若点P满足条件, 则点P在与直线l1,l2平行的直线l:2x-y+c=0上,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, 所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0. 因为点P在第一象限,所以3x0+2=0不可能.,-25-,考点一,考点二,考点三,考点四,-26-,考点一,考点二,考点三,考点四,对称问题(考点难度) 【例4】 (1)直线l:2x-3y+1=0关于点A(-1,-2)对称的直线l的方程为 .,答案,解析,-27-,考点一,考
11、点二,考点三,考点四,(2)若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2经过定点( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2),答案,解析,-28-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结1.若点M(x1,y1)与N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得 2.直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用l1l2,由点斜式得到所求直线方程. 3.点关于直线的对称 关键是抓住两点:一是两对称点的连线与对称轴垂直;二是两对称点
12、的对称中心在对称轴上,即抓住“垂直平分”,根据垂直及平分各列一方程,联立求解.,-29-,考点一,考点二,考点三,考点四,4.直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.,-30-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练直线x-2y+1=0关于直线x+y-2=0对称的直线方程是( ) A.x+2y-1=0 B.2x-y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0,答案,解析,-31-,思想方法转化与化归思想在对称问题中的应用 1.若在直线l上找一点P使到两定点A,B的距离之和最小,要看A,B两点相对直线
13、l的位置.若A,B在直线l的异侧,则直接连接AB,AB与直线l的交点即为所求;若A,B在直线l的同侧,则需要找出A或B中一个点关于直线l的对称点,然后连接另一点与对称点,连线与直线l的交点即为所求. 2.若在直线l上找一点使到两定点A,B的距离之差最大时,则与上面和最小问题正好相反.若A,B在直线l的异侧,则需要利用对称转化;若A,B在直线同侧,则A,B两点所在直线与l的交点即是所求.,-32-,【典例】 已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4). (1)在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|最小; (2)在直线l上求一点P,使|PB|-|PA|最大.,解:(1)设A
14、关于直线l的对称点为A(m,n),P为直线l上的一点,则|PA|+|PB|=|PA|+|PB|AB|,当且仅当B,P,A三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值,为|AB|,点P即是直线AB与直线l的交点,解 故所求的点P的坐标为(-2,3).,-33-,(2)A,B两点在直线l的同侧,P是直线l上的一点, 则|PB|-|PA|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,|PB|-|PA|取得最大值,为|AB|,点P即是直线AB与直线l的交点,又直线AB的方程为y=x-2,故所求的点P的坐标为(12,10). 答题指导解决两定点和直线上一动点距离和差问题,主要通过对称点转化为两边之和小于第三边或两边
15、之差小于第三边问题.,-34-,对点训练已知正实数x,y满足x+y=2,则x+ 的最小值为 .,答案,解析,-35-,高分策略1.对于两条直线的位置关系的判断或求解: (1)若直线斜率均存在且不重合,则一定有:l1l2k1=k2. (2)若直线斜率均存在,则一定有:l1l2k1k2=-1. 2.中心对称问题 (1)点关于点的对称一般用中点坐标公式解决. (2)直线关于点的对称,可以在已知直线上任取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再根据这两点确定直线的方程;也可以只求出一个对称点,再利用两对称直线平行关系,由点斜式得到所求直线即可.,-36-,3.轴对称问题 (1)点关于直线的对称 若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,可得到点P1关于直线l对称点P2的坐标(x2,y2)(其中B0,x1x2). (2)直线关于直线的对称,若两直线平行,可用距离公式解决;若两直线不平行,就转化为点关于直线的对称问题.,
