1、9.3 圆的方程,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.圆的定义 在平面内,到定点的距离等于定长 的点的集合叫做圆.确定一个圆最基本的要素是圆心 和半径 . 2.圆的标准方程 (1)(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),表示以(a,b) 为圆心,r 为半径长的圆的标准方程. (2)特别地,以原点为圆心,r为半径长的圆的标准方程为x2+y2=r2 .,-4-,知识梳理,双击自测,-5-,知识梳理,双击自测,4.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为 (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; (3)解出a
2、,b,r或D,E,F代入标准方程或一般方程. 5.点与圆的位置关系 若圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),点M(x0,y0),试根据点与圆的位置关系填写代数关系. (1)点在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2 ; (2)点在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2r2 ; (3)点在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2r2 .,-6-,知识梳理,双击自测,1.x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3),答案,解析,-7-,知识梳理,双击自测,2.圆心在y轴上,且过点(-1,2)并与x轴相切的圆的标准
3、方程为( ),答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,3.若方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆,则m的取值范围是( ),答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,4.若原点在圆(x-m)2+(y+m)2=8的内部,则实数m的取值范围是 .,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,5.若圆C经过坐标原点与点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是 .,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.求圆的标准方程,一定要抓住圆的圆心和半径两个核心要素,若圆与坐标轴相切,则要注意半径和圆心的关系. 2.配方法在圆的一般方程化为标准方程时起关键作用,因此要熟练掌握. 3.求轨迹方
4、程时,一定要结合已知条件进行检验,以防漏解或增解.,-12-,考点一,考点二,考点三,求圆的方程(考点难度) 【例1】 过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 .,(x-3)2+y2=2,解析:方法一:由已知kAB=0, 所以AB的中垂线方程为x=3. 过B点且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0,所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.,-13-,考点一,考点二,考点三,方法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),方法总结常见的求圆的方程的方法有两种:一是利用圆的几何特征,求出圆心坐标和半径长,写
5、出圆的标准方程;二是利用待定系数法,应用关键是根据已知条件选择标准方程还是一般方程.如果所给条件易求圆心坐标和半径长,则选用标准方程求解;如果所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点,常选用一般方程求解.,-14-,考点一,考点二,考点三,对点训练已知圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6,则圆C的方程为 .,答案,解析,-15-,考点一,考点二,考点三,与圆有关的轨迹问题(考点难度) 【例2】 (1)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点,则M的轨迹方程为 .,答案,解析,-1
6、6-,考点一,考点二,考点三,(2)如图所示,圆O1和圆O2的半径长都等于1,|O1O2|=4.过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PM,PN(M,N为切点),使得|PM|= |PN|.试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.,-17-,考点一,考点二,考点三,解:以O1O2的中点O为原点,O1O2所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则O1(-2,0),O2(2,0).,因为两圆的半径长均为1,所以|PO1|2-1=2(|PO2|2-1). 设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1, 化简,得(x-6)2+y2=33, 所以所求轨迹方程为(x-6)2+y
7、2=33.,-18-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.解答与圆有关的轨迹问题常采用以下方法:直接法直接根据题目提供的条件列出方程;定义法根据圆、直线等定义列方程;几何法利用圆的几何性质列方程;代入法找到所求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式. 2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应有不同:若求轨迹方程,把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线.,-19-,考点一,考点二,考点三,对点训练已知RtABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求: (1)直角顶点C的轨迹方程; (2)直角边BC的中点M的轨迹方程.,解:(1)方法
8、一 设点C的坐标为(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y0. 因为ACBC,所以kACkBC=-1.,化简得x2+y2-2x-3=0. 因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y0).,-20-,考点一,考点二,考点三,方法二 设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|= |AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y0).,(2)设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,所
9、以x0=2x-3,y0=2y. 由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y0),将x0=2x-3,y0=2y代入,得(2x-4)2+(2y)2=4, 即(x-2)2+y2=1. 因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y0).,-21-,考点一,考点二,考点三,与圆有关的最值问题(考点难度),【例3】 已知点P(x,y)在圆C:x2+y2-6x-6y+14=0上. (1)求 的最大值和最小值; (2)求x+y的最大值和最小值.,解:(1)方程x2+y2-6x-6y+14=0可变形为(x-3)2+(y-3)2=4.表示圆上的点P与原点连线的斜率,显然当PO(O为原点)与圆相切时
10、,斜率最大或最小,如图所示.,-22-,考点一,考点二,考点三,设切线方程为y=kx,即kx-y=0, 由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径2,(2)设x+y=b,则b表示动直线y=-x+b在y轴上的截距,显然当动直线y=-x+b与圆(x-3)2+(y-3)2=4相切时,b取得最大值或最小值,如图所示. 由圆心C(3,3)到切线x+y=b的距离等于圆的半径2,-23-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.形如= 形式的最值问题,可转化为过点P(a,b)动直线斜率的最值问题. 2.形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题. 3.形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题
11、,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值问题. 4.有时与圆有关的最值问题需要结合已知条件,列出代数关系式,然后根据关系式的特征选择参数法、配方法、判别式法、基本不等式等方法进行最值的求解.,-24-,考点一,考点二,考点三,对点训练已知点(x,y)在圆(x-2)2+(y+3)2=1上,求x+y的最大值和最小值.,解:设t=x+y,则y=-x+t,t可视为直线y=-x+t在y轴上的截距, 所以x+y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值,即直线与圆相切时在y轴上的截距. 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径,-25-,思想方法转化与化归思想在与圆
12、有关的最值问题中的应用 转化与化归思想的本质是把不熟悉的问题转化成我们学过的、熟悉的问题去解决.与圆有关的最值问题中应善于利用圆心,把圆上点的问题可以转化成与圆心有关的问题,化动为定.,-26-,【典例】 直线mx+y-4=0与直线x-my-4=0相交于点P,则P到点Q(5,5)的距离|PQ|的取值范围是 .,解析:如图所示, 因为直线mx+y-4=0过定点A(0,4), 直线x-my-4=0过定点B(4,0),且互相垂直,所以两直线的交点P,在以AB为直径的圆上,且不过原点. 所以,交点P到点Q(5,5)的距离|PQ|的取值范围是,-27-,答题指导本题关键是发现直线垂直关系得出点P轨迹是圆,PQ距离范围问题转化为点Q与圆心的距离问题.,-28-,对点训练设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得OMN=45,则x0的取值范围是 .,答案,解析,-29-,高分策略1.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行,注意数形结合,充分运用圆的性质. 2.解决与圆有关的轨迹问题,一定要看清要求,是求轨迹方程还是求轨迹.,
