1、10.5 离散型随机变量及其分布列,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ,常用字母X,Y,表示.所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 .,-4-,知识梳理,双击自测,2.离散型随机变量的分布列及其性质 (1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,xi,xn,X取每一个值xi(i=1,2,n)的概率P(X=xi)=pi,则以表格的形式表示如下:,将上表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列 ,有时为了表达简单,也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,n 表示X的分布列. (2)离散型随机变量
2、的分布列的性质: pi0(i=1,2,n) ;,-5-,知识梳理,双击自测,3.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布: 若随机变量X服从两点分布,即其分布列为,其中p=P(X=1) 称为成功概率.,-6-,知识梳理,双击自测,其中m=minM,n ,且nN,MN,n,M,NN*. 如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布.,-7-,知识梳理,双击自测,1.(教材改编)设随机变量X的分布列如下:则p为( ),答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,2.设某项试验的成功率是失败率的2倍,试验一次要么成功要么失败,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等
3、于( ),答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,3.设随机变量X等可能取1,2,3,n,如果P(X4)=0.3,那么n= .,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,4.一个袋内装有m个白球,(n-m)个黑球,所有的球除颜色外完全相同.连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了X个白球,则P(X=2)= .,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,5.下列四个表格中,可以作为离散型随机变量分布列的是 .,-12-,知识梳理,双击自测,答案,解析,-13-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.明确随机变量所取的值对应的试验结果是进一步求随机变量取这个值时的概率的基础. 2.合理利
4、用离散型随机变量的分布列的性质:pi0,i=1,2,3,n; pi=1.,-14-,考点一,考点二,考点三,离散型随机变量的分布列的性质(考点难度),【例1】 (1)若随机变量X的概率分布规律为,答案,解析,-15-,考点一,考点二,考点三,(2)随机变量X的概率分布列如下表,则P(|X-2|=1)=( ),答案,解析,-16-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.要正确理解随机变量概率值的意义. 2.利用分布列中各概率之和为1可求出参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.,-17-,考点一,考点二,考点三,对点训练随机变量X的分布列如下:,其中a,b,c成等差数列,则P(|X|
5、=1)= .,答案,解析,-18-,考点一,考点二,考点三,离散型随机变量分布列(考点难度),【例2】 一个袋子装有大小、形状完全相同的9个球,其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5;4个白球编号分别为1,2,3,4,从袋中任意取出3个球. (1)求取出的3个球编号都不相同的概率; (2)记X为取出的3个球中编号的最小值,求X的分布列.,解:(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A,“取出的3个球中恰有2个球编号相同”为事件B,-19-,考点一,考点二,考点三,(2)因为X可取的值为1,2,3,4,所以X的分布列为,-20-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.求随机变量的分布列的主要步
6、骤:(1)明确随机变量的取值,并确定随机变量服从何种概率分布;(2)求每一个随机变量取值的概率;(3)列成表格. 2.对于抽样问题,要特别注意放回与不放回的区别,一般地,不放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率,放回抽样由分步计数原理求随机变量对应的概率.,-21-,考点一,考点二,考点三,对点训练本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费,超过两个小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人独立来该租车点骑游(各租一车一次).设甲、,(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率; (2)设甲、乙两人所
7、付的租车费用之和为随机变量,求的分布列.,-22-,考点一,考点二,考点三,(2)因为甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量,所以可能取的值为0,2,4,6,8,-23-,考点一,考点二,考点三,故的分布列为,-24-,考点一,考点二,考点三,超几何分布(考点难度) 【例3】 (2017山东高考)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示.通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3
8、,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率. (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).,-25-,考点一,考点二,考点三,解:(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,(2)由题意知X可取的值为:0,1,2,3,4,则,-26-,考点一,考点二,考点三,因此X的分布列为X的数学期望是 E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4),-27-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.超几何分布描述的是不放回抽样问
9、题,随机变量为抽到的某类个体的个数. 2.超几何分布的特征是:(1)考察对象分两类;(2)已知各类对象的个数;(3)从中抽取若干个个体,考查某类个体个数X的概率分布.,-28-,考点一,考点二,考点三,对点训练某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列.,解:(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”
10、为事件A,-29-,考点一,考点二,考点三,(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.,所以随机变量X的分布列为,-30-,易错警示随机变量所有可能取值 求随机变量的分布列时首先应该确定随机变量的所有可能值,然后计算每个随机变量的概率,所有随机变量的概率和应该为1.,-31-,【典例】 某种茶饮料一天的销售量与该天的日平均气温(单位:)有关,若日平均气温不超过15 ,则日销售量为100瓶;若日平均气温超过15 但不超过20 ,则日销售量为150瓶;若日平均气温超过20 ,则日销售量为200瓶.据某市气象部门预测,该地区在十天运动会期间每天的日平均气温不超过15 、超过15 但不超过20 、
11、超过20 这三种情况发生的概率分别为P1,P2,P3,又知P1,P2为方程5x2-3x+a=0的两根,且P2=P3. (1)求P1,P2,P3的值; (2)记表示该茶饮料在运动会期间任意两天的销售量总和(单位:瓶),求的分布列.,-32-,(2)的可能取值为200,250,300,350,400.,-33-,答题指导应该根据题意把握随机变量应该取哪些值,取值错误必然导致求概率出错;每个随机变量的概率应该仔细分析求解,一个求错,必然导致其他值也求错. 高分策略1.要正确理解离散型随机变量的概念,合理利用离散型随机变量的两个性质. 2.求随机变量的分布列的主要步骤: (1)明确随机变量的取值,并确定随机变量服从何种概率分布; (2)求每一个随机变量取值的概率; (3)列成表格. 3.超几何分布是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.其特征是:(1)考察对象分两类;(2)已知各类对象的个数;(3)从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布.,
