1、12.1.4 排列组合、二项式定理真题引领洞悉考情1.(2016全国卷)如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ( )A.24 B.18 C.12 D.9【解析】选 B.EF 有 6 种走法,FG 有 3 种走法,由分步乘法计数原理知,共 63=18 种走法.2.(2017全国卷)若安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的安排方法共有 ( )A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种【解析】选 D.由题意 4 项工作分配给 3 名
2、志愿者,分配方式只能为(2,1,1),所以安排方式有 =36(种).3.(2017全国卷)(x+y)(2x-y) 5的展开式中 x3y3的系数为 ( )A.-80 B.-40 C.40 D.80【解题指南】本题考查二项式定理,考查学生的运算求解能力.【解析】选 C.由二项式定理可得,原式展开式中含 x3y3的项为:x (2x)2(-y)3+y (2x)3(-y)2=-40x3y3+80x3y3=40x3y3,故展开式中 x3y3的系数为 40.4.(2017全国卷) (1+x)6展开式中 x2的系数为 ( )2A.15 B.20 C.30 D.35【解析】选 C. (1+x)6展开式中含 x2
3、的项为 1 x2+ x4=30x2,故 x2的26 1246系数为 30.5.(2016全国卷)定义“规范 01 数列”a n如下:a n共有 2m 项,其中 m 项为 0,m 项为 1,且对任意 k2m,a 1,a2,ak中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m=4,则不同的“规范 01 数列”共有 ( )A.18 个 B.16 个 C.14 个 D.12 个【解析】选 C.由题意得必有 a1=0,a2m=1 具体情况如下:00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,0100
4、0111,01001011,01001101,01010011,01010101;共 14 个.6.(2018全国卷)若从 2 位女生,4 位男生中选 3 人参加科技比赛,且至少有 1 位女生入选,则不同的选法共有_种.(用数字填写答案)【解析】方法一:根据题意,没有女生入选有 =4 种选法 ,从 6 名学生中任意选 3 人有34=20 种选法,故至少有 1 位女生入选的选法共有 20-4=16 种.36方法二:恰有 1 位女生,有 =12 种,1224恰有 2 位女生,有 =4 种,2214所以不同的选法共有 12+4=16 种.答案:167.(2016全国卷)(2x+ )5的展开式中,x
5、3的系数是_.(用数字填写答案)【解析】设展开式的第 k+1 项为 Tk+1,k0,1,2,3,4,5,所以 Tk+1= (2x)5-k( )k= 25-k .当 5- =3 时,k=4,即 T5= 25-4 =10x3.45 5-42答案:108.(2015全国卷)(x 2+x+y)5的展开式中,x 5y2的系数为( )3A.10 B.20 C.30 D.60【解析】选 C.在(x 2+x+y)5的 5 个因式中,2 个取因式中 x2,剩余的 3 个因式中 1 个取 x,其余因式取 y,故 x5y2的系数为 =30.2513229.(2015全国卷)(a+x)(1+x) 4的展开式中 x 的
6、奇数次幂的项的系数之和为 32,则a=_.【解析】设(a+x)(1+x) 4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令 x=1,得 16(a+1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5,令 x=-1,得 0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.-,得 16(a+1)=2(a1+a3+a5),即展开式中 x 的奇数次幂的项的系数之和为 a1+a3+a5=8(a+1),所以 8(a+1)=32,解得 a=3.答案:3【易错易混】1.解决排列组合问题时,易忽略题设中的问题顺序是否与条件有关,进而将排列与组合混淆,导致错误结论.2.二项展开式中某一项的系数与某一项的二项式系数容易混淆,要注意它们的区别.3.在利用二项式展开的通项公式求某一特定项时,k=0,1,2,n 易漏掉 k=0 的情况.4.某些应用选取元素时允许重复,只能用两个原理或转化为组合求解.
