1、1鲁教版中考数学三角形分类训练二（等腰三角形和直角三角形）典例诠释：考点一 等腰三角形中的多解问题例 1 如果等腰三角形的两边长分别为 4 和 7，则三角形的周长为 【答案】 15 或 18【名师点评】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和 底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键例 2 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30，则顶角 的度数为( )A60 B120C60或 150 D60或 120【答 案】 D【名师点评】 此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位
2、置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只求出 120一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形考点二 等腰三角形和直角三角形的性质及判定例 3 (2016门头沟一模)如图 1-10-13，直线 m n，点 A 在直线 m上，点 B， C 在直线 n上， AB=BC，1=70， CD AB 于 D，那么2 等于( )图 1-10-13A20 B30 C32 D25【答案】 A【名师点评】通过平行线的知识可知1= ACB=70，再利用等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余即可解决.例 4 (2016海淀一模)如图 1-10-14，在 ABC 中， BAC=90， AD BC 于点 D， DE 为
3、AC 边上的中线求证： BAD= EDC.2图 1-10-14 【证明】 如图 1-10-15.图 1-10-15 BAC=90， BAD+ DAC=90. AD BC， ADC=90， DAC+ C=90， BAD= C. DE 为 AC 边上的中线， DE=EC. EDC= C, BAD= EDC.【名师点评】 此题考查了“双垂直”的基本图形，易知 BAD= C，再利用“直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半”得到等腰 EDC，从而问题得解.例 5 (2016海淀一模)如图 1-10-16，在 ABC 中， AB=AC， AD 是 BC 边上的中线， AE BE于点 E，且 BE=BC求证：
4、 AB 平分 EAD图 1-10-16【证明】 AB=AC,AD 是 BC 边上的中线， BD=BC， AD BC. BE=BC， BD=BE. AE BE 于点 E， 点 B 在 EAD 的平分线上， AB 平分 EAD.【名师点评】 此题考查了等腰三角形的 “三线合一”性质，可得到 BD=BE=BC，再利用直角三角形全等的判定定理(HL)即可.3基础精练：1.(2016丰台一模)如图 1-10-17，在 ABC 中， AD 是 BC 边上的高线， BE AC 于点 E， BAD = CBE.求证： AB=AC. 图 1-10-17【证明】 在 ABC 中， AD 是 BC 边上的高线， B
5、E AC 于点 E， ADB BEC=90. ABD+ BAD C+ CBE=90.又 BAD= CBE, ABD C. AB=AC.2.(2016怀柔一模)如图 1-10-18，在 ABC 中， AB=4， AC=3， AD， AE 分别是其角平分线和中线，过点 C 作 CG AD 于 F，交 AB 于 G，连接 EF，则线段 EF 的长为( )图 1-10-18A. B.1 C. D.7【答案】 A3.(2016怀柔一模)如图 1-10-19，在 Rt ABC 中， C=90， AB 边的垂直平分线 DE 交BC 于点 E，垂足为 D.求证： CAB= AED.图 1-10-19【证明】
6、DE 是 AB 边的垂直平分线, AE=BE, ADE=90， EAB= B.在 Rt ABC 中， C=90, CAB+ B=90.4在 Rt ADE 中， ADE=90, AED+ EAB=90， CAB= AED.4.(2016门头沟一模)如图 1-10-20， ABC 是等边三角形， BD 平分 ABC，延长 BC 到 E，使得 CE=CD求证： BD=DE图 1-10-20【证明】 ABC 是等边三角形， ABC= ACB=60 BD 平分 ABC， DBC= ABC=30 CE=CD， CDE= CED又 ACB=60， DCB= CDE+ CED， DEC= ACB=30 DBC
7、= DEC， BD=DE5.(2016平谷一模)如图 1-10-21，在 ABC 中， AB=AC，点 D 是 BC 上一点， DE AB 于E， FD BC 于 D， G 是 FC 的中点，连接 GD.求 证： GD DE.图 1-10-21 【证明】 如图 1-10-22.图 1-10-22 AB=AC， B= C. DE AB， FD BC， BED= FDC=90. 1=3. G 是直角三角形 FDC 的斜边中点， GD=GF. 2=3. 1=2. FDC=2+4=90， 1+4=90. 2+ FDE=90. GD DE.56.(2016石景山一模)如图 1-10-23，在 Rt AB
8、C 中， ACB=90， CD 是 AB 边上的中线，DE AB 于点 D，交 AC 于点 E求证： AED= DCB图 1-10-23【证明】 在 Rt ABC 中， ACB=90， CD 是 AB 边上的中线 ， CD=AB=DB， B= DCB DE AB 于点 D， A+ AED=90 A+ B=90， B= AED AED= DCB7.(2016东城二模)如图 1-10-24，在等腰 ABC 中， AB=AC， BD AC， ABC=72，则 ABD 等于( )图 1-10-24A18 B.36 C54 D64【答案】 C8.某等腰三角形的两条边长分别为 3 cm 和 6 cm，则它
9、的周长为( )A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.12 cm 或 15 cm【答案】 C9.若等腰三角形中有一个角等于 50，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )A.50 B.80 C.65或 50 D.50或 80【答案】 D10.已知：如图 1-10-25，在 ABC 中， ABC， ACB 的平分线相交于 F，过 F 作 DE BC，交 AB 于 D，交 AC 于 E，那么下列结论： BDF， CEF 都是等腰三角形； DE=DB+CE； AD+DE+AE=AB+AC； BF=CF.正确的有( )6图 1-10-25A.1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】 C11.
10、(2016顺义一模)我们把过三角形的一个顶点，且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段” 例如：如图 1-10-26，在 Rt ABC 中，取 AB 边的中点 D，线段 CD 就是 ABC 的“等腰线段”(1)请分别画出如图 1-10-27 所示三角形的“等腰线段” ；图 1-10-26 图 1-10-27 (2)如图 1-10-28，在 EFG 中， G=2 F，若 EFG 有“等腰线段” ，请直接写出 F 的取值图 1-10-28【解】 (1)如图 1-10-29 所示.图 1-10-29(2)36和 4512.如图 1-10-30，在 ABC 中， AC=BC，
11、 ACB90，将线段 CB 绕点 C 旋转 60得到7CB， ACB 的平分线 CD 交直线 AB于点 D，连接 DB，在射线 DB上截取 DM=DC(1)在图 1-10-30中证明： MB= DB；(2)若 AC=，分别在图 1-10-30和中，求出 AB的长(直接 写出结果) 图 1-10-30(1)【证明】 如图 1-10-31，连接 CM图 1-10-31由旋 转可知： CB= CB， BCB=60 AC=BC， ACB90， AC=CB， ACB150 CAB= CB A=15 CD 平分 ACB， ACD= BCD=45 CDM= ACD+ CAD=60 DM=DC， CDM 是等边三角形， CM=CD， DCM=60 B CM= ACB ACD DCM=45 B CM= BCD在 CMB和 CDB 中， CMB CDB(SAS)， MB= DB(2)【解】 在图 1-10-30中， AB=3+，在图 1-10-30中， AB=3真题演练(2015北京)如图 1-10-31，在 ABC 中， AB=AC， AD 是 BC 边上的中线， BE AC 于点 E.求证： CBE= BAD.8图 1-10-31【证明】 AB=AC， ABC= C.又 AD 是 BC 边上的中线， AD BC， BAD+ ABC=90. BE AC， CBE+ C=90， CBE= BAD.
