1、12018 年重庆一中高 2019 级高三上期半期考试数 学 试 题 卷（理科） 数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。第卷（选择题，共 60 分）一、选择题.（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合
2、题目要求的一项）1已知集合 则 （ ）,10,21BZxxABAA. B. C. D.,0 ,2,102等比数列 中，若 ，则 （ ）na3,1a5aA.6 B. C.12 D.1863. 计算 的结果是（ ）75si1iA. B. C. D.2414264264下列函数为奇函数的是（ ）A. B. C. D.23)(xfxf2)( xfsin)(xf3ln)(5已知非零向量 的夹角为 ，且 则 （ ）ba,30,3,1baba2A. B. C. D.32 26圆 半径为 ，圆心在 轴的正半轴上，直线 与圆 相切，则圆 的方程为（ Cx04yxC）A B C D0322yx2042xy7过抛物
3、线 的焦点 作斜率为 的直线，与抛物线在第一象限内交于点 ，若)(2pxyF3A2，则 （ ）4AFpA.4 B.2 C.1 D. 38已知双曲线 过点 且其渐近线方程为 ， 的顶点 恰为 的两焦点，)4,3(Mxy32ABC,顶点 在 上且 ，则 （ ）CBCAsinsiACBA B. C. D. 7272229若函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）xaxfln)(aA B C D1,e(,)e1(0,)e(0,)e10已知 ， 的导函数 的部分图象如图所示，,0,cos)( Axxf xfxf则下列对 的说法正确的是（ ）A.最大值为 且关于点 中心对称2),2(B.最小值为
4、 且在 上单调递减3,C.最大值为 且关于直线 对称 42xD.最小值为 且在 上的值域为3,04,011已知双曲线 的右顶点为 , 以 为圆心的圆与双曲线 的某一条渐2:1,xyCabAC近线交于两点 .若 ,且 （其中 为原点），则双曲线 的离心率为（ ,PQ60A3OQP） A B C D72772712已知 的内角 满足 ，且C,A 1sin()sin()sin()ABAC的面积等于 ，则 外接圆面积等于（ ）BA B C D24863图2图1 FEDFEDAB C CBA图 2图 1第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题.（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填
5、写在答题卡相应位置上）13直线 的倾斜角为 ；0218:yxl14已知 是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上一点且满足 ，则21,F2(3)9yaP120PF的值为 ；21P15数列 满足 前 项和为 ，且 ，则 的通项公式 na1,nnS),2(*Nnannana；16已知函数 满足 ，且对任意 恒 有 ，则)(xf2)(f Ryx, )()2()( yfxyfxf 2019)8(f三、解答题.（共 70 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17. （本小题满分 12 分）在 中，角 所对的边分别为 ，且 .ABC, ,abcosc1ABb（）证明： 成等比数列；,acb（）若 ，且 ，
6、求 的周长.34sin()cos16AB18 （本小题满分 12 分）已知数列 满足 ，数列 满足na)(212Nnan nb，且 .)(*1Nnabn ,5,731b（）求 及 ；n（）令 ，求数列 的前 项和 *,bacnncnS19.（本小题满分 12 分）如图 1，在直角 中， ， 分别ABC32,4,90ABC ED,为 的中点，连结 并延长交 于点 ，将 沿 折起，使平面 平面 ，BDAC,EFDC如图 2 所示（）求证： ；（）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值FC420. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且 为抛21:(0)xyCab12,F物线 的焦
7、点， 的准线被椭圆 和圆 截得的弦长分别为 和 .2:(0)Cypx2122xya4（）求 和 的方程；12（）已知动直线 与抛物线 相切（切点异于原点），且 与椭圆 相交于 两点，若椭圆l2Cl1CNM,上存在点 ，使得 ，求实数 的取值范围.1CQ)0(OQNM21 （本小题满分 12 分）已知函数 .ln1xf=-（）求 的单调区间；()fx（）若 ，证明： （其中 是自然对数的底数， ）1axeaf)()e7182.e注意：请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分22. (本小题满分 10 分) 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线 的参
8、数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴的正半l321xtytOx轴为极轴建立极坐标系，点 的极坐标为 ，曲线 的极坐标方程为 ，A(23,)6C24cos10设直线 与曲线 相交于 两点lC,PQ（）写出直线 和曲线 的直角坐标方程；l（）求 的值AO523.（本小题满分 10 分） 选修 4-5：不等式选讲已知函数 12)(xxf（）解不等式 ；（）记函数 的最大值为 ，若 ，证明： )(fm)0,(3cbamba 1cab2018 年重庆一中高 2019 级高三上期半期考试数学参考答案（理科）1、选择题：D A B D B C B A C D A C二、填空题：13 题： ； 14
9、题：36； 15 题： ; 16 题：432,1nan 23三、解答题17.（1）证明：由正弦定理得： 2 分cos1ABabcosc1iisiABC，4 分sin()1siABC2inin所以 成等比数列6 分2,cab,c（1）由 8 分1)62sin(2cossi31os)6sin(4 C,3由余弦定理得： ，9 分22cba又 ，所以 103c9a分于是得： 11 分229()3()7bab6ab所以 的周长为 .12 分ABC9c18. 解：（1）由题可得 等差， 等比，设 的公差为 ，则 2nanbnaddbn1分由题有 5 分121210256713 dadn于是 ，而 ，61n
10、b11nba分，6（2）由题有： ，由错位相减法，得：12)(nnbac7 分1210 )()3(523 nnnS8 分n2)(232 两式相减，得：10 分nnnnnS )1()4(12)()(2112 11 分)3于是： 12 分)(*Nnn19.（1）证明：由条件可知 ，而 为 的中点， ，2 分ABDEB AEBD又面 面 ，面 面 ，且 ， 平面 4ABDCC面 C分又因为 平面 ， 6 分 E（2）由（1）可知， 两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系，则：AF,7 分(0),3),(01EA， ， (30,)(2,30)DC易知面 的法向量为 ，8E， ，分设平面 的法向量为 ，则
11、： ，易得 10 分AC(,)nxyz0nADC (3,1)n设平面 与平面 所成锐二面角为 ，则 12 分EFD5cos,E20.（1）由题得 ，故 4 分24ba2,=24bp221:,:884xyCx（2）由题知 存在斜率且不为 0，设 5 分l ),0(:mnyxl ),(),(),(021yQNM联立 ，因为 与 相切，故 6 分xynm82 82nyl2C1nm联立 ，2 082)(22y7两根为 ，所以 7 分21,y 28,2121 mnyy，又 ，因此 8),4(8402 nmn 0n)0,4(分由 ，由韦达定理，代入计算得 9 分OQNM021yx)2(02mnyx而点 在
12、椭圆上，即 ，代入得),(0yx80x10 分)0,4(,2)2(8)2(162 nmnmnn令 ，则 12,4t 2,)4,0(816( t分21. 解：（1）定义域 ， 2),1()0x 2)1(lnxf分令 ，则 ，所以 在 ，xuln)(2)(xu )(u),0故 时， ，也即 ，3 分),1(001xf因此， 在 上单调递减，在 上也单调递减；4 分f ),(（2）因 故 ，因此只需证明 （记为 ）5 分axxe)( ),1()0,1lnxex 先证明 时的情况：,1此时 ，令 60ln2xe xxxegexg 232)(,1ln)(分令 ，)1(046)(,43)(,2)( 23
13、hhxh xx 故 在 ，故 在 ，7 分),101e,1于是 在 ，0(ex )()(xgx ),8因此， 时 ，即 8 分),1(x0)1(gx01ln2xe下面证明 时的情况（相对更难一点点）：,0证法一：（切线放缩） 令 ，故 在 ，01)(,1)(xxegeg )(xg1,0于是 时 ，10 分)1,(x0xx令 ，故 在1,lnhh)(h,故 时， 即 即 ，证毕；12 分),0(x)(x01lnxxe1ln证法二： 时， ，令1,l2xe xxxegxg 232)(,l)(令 ，46,143)(,2)( 23 ehhxexh显然 在 而 ，故 使 在 ，)1,0( 0)(,0e)
14、1,(0x(xh )1,(,00x而 ，故必存在唯一的 使得 在2)(,)(eh ),(,01x)(),(,1且 即 ，故01x4311xx 352)( 231131 xxxeh记 ，所以 在 ，注意到3),0(,5)(23 xuu， )(u),(,0，因此 时 ，故 ，故 11 分)(,x0()(xg故 在 ，因此， 时， 12 分)(xg1,0)1,0( 01ln1)2xegx法三：把两种情况一起证（但需要用洛必达法则） 所证，),(),1lnln2xexxx令 ， 6l)(2 xxeln)121)()2（分令 ，则),0(,ln)1(1)(2xxxu xxuln)2()(2， 7323
15、4332xu分显然 在 恒正，故 在 单增8)(xu),0)(x),0分9注意到 ，于是 在 为负，在 上为正，0)1(u)(xu1,0),(也即 在 上单调递减，在 单调递增9 分x, )因此 时有 ，故 在 上单调递增， xu),0(又注意到 ，于是 在 为负，在 上为正，)()(,),(而 与 正负一致，因此 在 上单调递减，在 单调递增10 分u x10,1因此 时， （洛必达法则）12 分),1()0x 2)lnlim)(li)(11 exexx22. （1） ，曲线 ，即 4 分:l30y:C240y()3y（2）点 的直角坐标为 ，发现 在直线 上且 ，直线 的极坐标方程为A(,)AlAtl ()6R联立 的参数方程与 的直角方程得： ，则 7 分l 231t 1PQt联立 及曲线 的极坐标方程得： ，则 ，故所求=110C0O分23.解：（1） ，易得 的解集为 5 分2,31,)(xf 1)(xf ),0x（2）由（1）知 ，于是 7 分mf)(a cba因为 ，移项即得证10 分acbcab 22
