1、考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1987 年)f()sine cos( )是 【 】（A）有界函数（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数2 (1987 年) 函数 f()sin 【 】（A）当 时为无穷大（B）在 (，)内有界（C）在 (，)内无界（D）当 时有有限极限3 (1990 年) 已知 0，其中 a，b 是常数，则 【 】（A）a1， b1（B） a1，b1（C） a1，b1（D）a1 ，b14 (1992 年) 设 f() ，则 【 】（A）（B）（C）（D）5 (1992 年)
2、当 1 时，函数 的极限 【 】（A）等于 2（B）等于 0（C）为 （D）不存在但不为6 (1993 年) 当 0 时，变量 是 【 】（A）无穷小（B）无穷大（C）有界的，但不是无穷小的（D）无界的，但不是无穷大7 (1995 年) 设 f()和 f()在 ()( ，) 上有定义，f()为连续函数，且 f()0，()有间断点，则 【 】（A）f() 必有间断点（B） ()2 必有间断点（C） f()必有间断点（D） 必有间断点8 (1997 年) 设 0 时，e tane 与 n 是同阶无穷小，则 n 为 【 】（A）1（B） 2（C） 3（D）49 (1997 年) 设 则 gf()为
3、【 】（A）（B）（C）（D）10 (1998 年) 设数列 n 与 yn 满足 nyn0，则下列断言正确的是 【 】（A）若 n 发散，则 yn 必发散（B）若 n 无界，则 yn 必无界（C）若 n 有界，则 yn 必为无穷小（D）若 为无穷小，则 yn 必为无穷小11 (1999 年)“对任意给定 (0，1)，总存在正整数 N，当，nN 时，恒有 na2”是数列 n收敛于 a 的 【 】（A）充分条件但非必要条件（B）必要条件但非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件12 (2000 年) 设函数 f() 在(，) 内连续，且 f()0，则常数a，b 满足 【 】（A）
4、a0， b0（B） a0，b0（C） a0，b0（D）a0 ，b013 (2001 年) 设 f() ，则 ff()等于 【 】（A）0（B） 1（C）（D）14 (2001 年) 设当 0 时，(1cos)ln(1 2)是比 sinn 高阶的无穷小，而 sinn 是比( 1) 高阶的无穷小，则正整数 n 等于 【 】（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题15 (1987 年) _16 (1988 年) 设 f() 在(，)内连续，则a_17 (1989 年) cot2_18 (1989 年) 设 f(z) 在 0 处连续，则常数 a 与 b 应满足的关系是_19 (1990 年) 设
5、函数 f() ，则函数 ff()_20 (1991 年) _21 (1992 年) 求 _22 (1994 年) 若 f() 在(，)上连续，则a_23 (1995 年) _24 (1996 年) _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 (1988 年) 设 f() ，f()1，且 ()0，求 ()及其定义域26 (1989 年) 求27 (1990 年) 已知 9，求常数 a28 (1993 年) 求29 (1995 年) 求30 (1996 年) 设函数 f() (1)写出 f()的反函数 g()的表达式； (2)g() 是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点31 (1
6、997 年) 求极限32 (1998 年) 求函数 f() 在区间(0，2)内的间断点，并判断其类型33 (2001 年) 求极限 记此极限为 f()求函数 f()的间断点并指出其类型34 (2002 年) 设 0 13， n+1 (n 1，2，)，证明数列 n的极限存在，并求此极限35 (2004 年) 求极限36 (2006 年) 设数列 n满足 0 1， n+1sin n(n1，2，) ()证明 n存在，并求该极限； ()考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 f(
7、) sin()e cos(-)sine cosf()，则 f()为偶函数【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(2k)2ksin(2k)0 f(2k )2k 则 f()在(， )内无界，但 时，f()不是无穷大，也没有有限极限则应选 C【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 C【试题解析】 由 知， 1a0，ab 0，则 a1，b 1【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 D【试题解析】 则极限不存在，但不是【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 D【试题解析】 取 n ，
8、f( n)(n) 2sin(n)0， f(n)0，取yn ， 则当 0 时是无界的，但不是无穷大【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 D【试题解析】 举反例 f()1，() f()1，处处连续，不能选A() 21，处处连续，不能选 B；f()1，处处连续，不能选 C则应选D【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 C【试题解析】 由于则应选C【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 D【试题解析】 当 0 时，f() 20，则 gf()f() 2 22； 当 0 时，f()0 ，则 gf()2f()2() 2； 故 gf() ，故应选 D【知识模块】 函数、极限、连续10
9、 【正确答案】 D【试题解析】 排除法，若取 nn，y n ，则显然(A) 不正确；若取nn，y n0，则显然 B 不正确；若取 n0，y nn，则显然 C 不正确故只有 D正确【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 C【试题解析】 由数列极限的“”定义可知本题中 “对任意给定 (0，1)，总存在正整数 N，当 nN 时，恒有 na2”与原定义等价，故应选 C【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 D【试题解析】 由 0可知，b0，又 f()在( ，)上连续，则a0，所以应选 D【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 B【试题解析】 先求尢 ff()由于当 1 时
10、 f()1，从而 ff()1当 1 时，f()0，则 ff()1因此 ff()1显然 fff()1【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 B【试题解析】 当 0时1cos 2，ln(1 2) 2，sin n n， 1 2，则，当 0 时 (1cos)ln(1 2) 4，sin n n+1， 1 2 由于当 0 时，(1cos)ln(1 2)是比 sinn 高阶的无穷小， 则 4n1； 又当 0 时，sin n 是比( 1)高阶的无穷小，则 n1 2故，213，即 n 2【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题15 【正确答案】 e -3【试题解析】 由于【知识模块】 函数、极限、连续
11、16 【正确答案】 1【试题解析】 f(00) (2a)af(00) e(sincos)1要使f()在(，)上连续，只需 a1f(0)a，即 a1【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 【试题解析】 由于【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 a b【试题解析】 由于 f(00) b，f(00) (ab 2)a，f(0) a，要使 f()在 0 连续，则应有 f(00)f(00)f(0)，即 ab【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 1【试题解析】 由 f() 知，对一切的 ，f()1，则 ff()1【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 1【试题解析
12、】 由于【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 【试题解析】 由于【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 2【试题解析】 由于 22a，又 f(0)a要使 f(0)在( ，)上连续，只要 22aa，即 a2【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 119 【试题解析】 由夹逼原理可知：原式【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 2【试题解析】 由和差化积公式得 原式2【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 【正确答案】 由 f() 知 f() 1 又 ()0，则 ()，0【知识模块】 函数、极限、连续26 【正
13、确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 原式 50【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 原式【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 (1) (2)g()处处连续，没有间断点；g()不可导的点是 0 及 1【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 f() 在(0，2) 上的间断点为 由于 f()，f() 则 和 为第二类间断点，而 f()1 f()1，则为可去间断点【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 由于则 f() 由于 e，则 0
14、为 f()的可去间断点，k(k1 ， 2，)为 f()的第二类间断点【知识模块】 函数、极限、连续34 【正确答案】 由 0 13 知 1，3 1 均为正数，由数学归纳法知，对任意正数 n1，均有 0 n ，因而数列 n有界 又当 n1 时， n+1 n0 因而n+1n(n1)即数列 n单调增 由单调有界数列必有极限知 存在令a，在 n+1 两边取极限，得 a 解之得a ，a0(舍去) 故【知识模块】 函数、极限、连续35 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续36 【正确答案】 () 用归纳法证明 n单调下降且有下界 由 0 1，得0 2sin 1 1 设 0 n ，则 0 n+1sin n n 所以 n单调下降且有下界，故 n 存在 记 a ，由 n+1sin n 得 asina 所以 a0，即n0 ()解因为【知识模块】 函数、极限、连续
