1、考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2011 年试题，一) 已知当 x0 时 f(x)=3sinxsin3x 与 cxk 是等价无穷小，则( )（A）k=1，c=4（B） k=1，c=-4（C） k=3，c=4（D）k=3，c=一 42 (2009 年试题，一) 当 x0 时，f(x)=x 一 sinax 与 g(x)=x2ln(1 一 bx)为等价无穷小，则( )。（A）a=1 ，b=一 16（B） a=1，b=16（C） a=一 1，b=一 16（D）a= 一 1，b=163 (2007 年试题
2、一) 当 x0 时，与 等价的无穷小量是( )（A）（B）（C）（D）4 (2004 年试题，二) 把 x0 +时的无穷小量 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )（A），（B） ，（C） ， （D）， 5 (2001 年试题，一) 设当 x0 时，(1 一 cosx)ln(1+x2)是比 xsinxn 高阶的无穷小，而xsinn 是比 (ex2 一 1)高阶的无穷小，则正整数 n 等于 ( )。（A）1（B） 2（C） 3（D）46 (1997 年试题，一) 设 x0 时，e tanx 一 en 与 xn 是同阶无穷小，则 n 为( )（A）1（B） 2（C）
3、 3（D）47 (2010 年试题，1) 函数 的无穷间断点数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）38 (2009 年试题，一) 函数 的可去间断点的个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）无穷多个9 (2008 年试题，一) 设函数 则 f(x)有 ( )。（A）一个可去间断点，一个跳跃间断点（B）一个可去间断点，一个无穷间断点（C）两个跳跃间断点（D）两个无穷跳跃间断点10 (2007 年试题，一) 函数 在-，上的第一类间断点是 x=( )（A）0（B） 1（C）（D）11 (2006 年试题，二) 设 f(x)是奇函数，除 x=0 外处处连续，x=0 是其第一类间断点，则
4、是( ) （A）连续的奇函数（B）连续的偶函数（C）在 x=0 间断的奇函数（D）在 x=0 间断的偶函数12 (2005 年试题，二) 设函数 则( ) （A）x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点（B） x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点（C） x=0 是 f(x)的第一类间断点， x=1 是 f(x)的第二类间断点（D）x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点13 (2000 年试题，二) 设函数 内连续，且 ，则常数 a，b 满足( )（A）a0，b0（C） a0，b0（D）a0 ，b2，即 n1，综上，正整数 n满足 1【知识模块】 函数
5、极限、连续6 【正确答案】 C【试题解析】 根据无穷小同阶的定义，由题设，有从而 n 一 1=2，即 n=3 选 C。【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 B【试题解析】 函数 一的间断点有 x=0，1又故 x=一 1 为无穷间断点所以，函数 的无穷间断点只有一个，即正确答案为 B【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 C【试题解析】 当 x 取整数时，函数 f(x)均无意义，故函数 f(x)有无穷多个间断点因为可去间断点为极限存在的点，所以应是 x 一 x2=0 的解，即 x=0，1又即 x=0，1 时，函数 f(x)的极限存在故可知，函数 f(x)有三个可去间断点答案为
6、 C【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 A【试题解析】 观察可知，函数 f(x)的间断点为 x=0，1因为所以 x=0 是可去间断点，x=1 是跳跃间断点，故应选 A【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 A【试题解析】 因为 所以x=0 是该函数的第一类间断点，故应选 A。评注A，B，C ，D 四个选项均为间断点，首先验证 x=0 为第一类间断点，选 A【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 B【试题解析】 依题意，可知 f(x)在任意区间a ，b上可积，所以 处处连续，又 所以 F(x)为偶函数，故选 B【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 D【
7、试题解析】 因为 ，所以 可见 x=0 是 f(x)的第二类间断点又因为 所以 可见 x=1 是f(x)的第一类间断点所以选 D 评注由于 ，所以【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 D【试题解析】 题设所给函数 f(x)是初等函数，且在(一，)内连续，因此 f(x)在(一， +)上处处有定义当 a ，因此可排除 A 当 a一 1，b=0 时，由已知， 矛盾，当 a=一 1，b=0 时 f(x)无定义，由此可知 b0；当 b 综上知要满足条件，必须有 a0，b【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 A【试题解析】 x=0 时 f(0)=0，由函数在一点处导数的定义，有其中
8、用到x0 时，e x 一 1 一 x，因此选 A【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 B【试题解析】 选 B【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 D【试题解析】 A，B，C 三个选项都是正确的对于 D 选项，如 f(x)=x，满足但 f(0+)=-1，f (0-)=-1，二者不相等，即 f(0)可以不存在，故应选D【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 C【试题解析】 此题可先求 f(x)的表达式，再结合 f(x)的函数图形求得因为所以根据 y=f(x)的表达式以及其函数图形(见图 12 一 1)，可以得知 f(x)在 x=1 处不可导(图形是尖点)，所以选 C评注
9、考查了分段函数在分段点的导数及数到极限问题【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 f(x)=(x2 一 x 一 2)x 3 一 x，其中 x2 一 x 一 2 在(一，+)上处处可导，x 3 一 x在 x=0，一 1，1 三点之外处处可导，因此 f(x)只有在x=0，一 1，1 三点有可能不可导下面逐一分析这三点的可导性，由导数的定义，由于因此 x=0 处不可导其中(x 2 一 x 一 2)x(x 一1)0，当 x-1， 有界，从而上左=0，因此 f(一 1)=0，即 x=一 1 处可导因而 x=1处不可导，综上不可导点为 x=0，1，所以选 C评注由x 一 x
10、0在 x=x0 处不可导，但(x 一 x0)x 一 x0x=x 0 处可导，知选 B【知识模块】 一元函数微分学二、填空题19 【正确答案】 根据题意得解得【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 由题设，根据等价无穷小的定义，知因此 a=一 4【试题解析】 当 x0 时，f(x)0，则有(1+f(x) a 一 1 一 af(x)【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 根据连续性定义，有【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 由题设， 因此 x=0 是 f(x)的间断点，且为第二类(无穷)间断点【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 由连续性的定义，要求左
11、右极限相等，由题设，f(0)=a，由 f(0)=f(0-)=f(0+)知，a=一 2【试题解析】 f(x)在 x0 处连续【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 由连续性的定义，【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 【正确答案】 用泰勒公式计算因为从而【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 首先明确高阶无穷小的定义，即若 f(x)是 x2 的高阶无穷小，则当且仅当 由题设，欲证结论等价于证明存在唯一一组实数 1， 2， 3，使得 (1)式成立的必要条件是 2f(h)+2f(2h)+3f(3h)一 f(0)=0，即 1f(0)
12、2f(0)+3f(0)一 f(0)=0，由已知 f(0)0，因此 1+2+3-1=0(2)又由已知 f(x)在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，从而可利用洛必达法则，由(1)式， (3)同样此式成立的必要条件是 f(h)+22f(2h)+3f(3h)=0，即 1f(0)+22f(0)+33f(0)=0 由已知f(0)0，所以 1+22+33=0(4)对(3)式继续应用洛必达法则，有同理，由 f(0)=0，知 1+42+93=0(5)综合(2)，(4)，(5)三式得一关于 1， 2， 3 的线性非齐次方程组 该方程组系数行列式为 所以方程组有唯一解，所以存在唯一一组实数 1， 2， 3 满
13、足题设要求【试题解析】 本题还可利用麦克劳林展开式来得到关于 1， 2， 3 的方程组，即由 在上式中分别取 x=h，2h，3h ，则因此 1f(0)+2f(2h)+3f(3h)-f(0)=(1+2+3-1)f(0)+(1+22+33)f(0)h+ (1+42+93)f（0）h 2+o(h2)由题设 f(0)0,f(0)0,fn(0)0，则要使上式左边当 h0 时为 h2 的高阶无穷小，必应满足 由此同样得到关于 1， 2， 3 的方程组。【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 本题考查函数在某一点处连续的定义及可去间断点的定义，当f(x)在 x=0 的左、右极限相等且等于 f(x)
14、时，则 f(x)在 x=0 处连续，若左右极限相等但不等于 f(0)时，则 x=0 为可去间断点，由题设，欲使 f(x)在 x=0 处连续，则 f(0-)=f(0+)=6，又 所以一 6a=6 且2a2+4=6，解得 a=一 1 若 x=0 是 f(x)可去间断点，则一 6a=2a2+46，解得 a=一2综上，当 a=一 1 时 f(x)在 x=0 处连续；当 a=一 2 时，x=0 是 f(x)的可去间断点。【试题解析】 求左、右极限的过程中，应尽量利用无穷小量的等价代换，可简化计算【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 根据题设，应先求出 f(x)的表达式，再讨论其间断点及其类型
15、注意到原极限式中 x 应视为常数，则当 tx，极限 f(x)应为一初等函数，即即 又由已知，f(x)的间断点为其无定义的点，也就是 sinx 的零点，x=0，k(k=1，2，)当 x=0 时，由于，从而 x=0 是 f(x)的第一类间断点或可去间断点；当x=k(k=1， 2，)时，由于 同时有所以 x=2k(k=1，2，)是 f(x)的第二类间断点或无穷间断点【试题解析】 说明间断点通常只需说明是第一类或第二类间断点即可，如若进行更细致的判定类别则更如，另求“1 ”型极限时，用第二类重要极限来求可能会更简单【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 由题设所给函数 的结构特点知，(0，2)内f(x)的间断点 的零点 及没有定义的点 ，即间断点为下面一一分析各点的性质：为 f(x)的第二类间断点或无穷间断点；第一类间断点或可去间断点【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 由题设，f(x)=x(x 24)，x0 ，2 当 x一 2，0)时，x+20，2)，则由 f(x)=kf(x+2)知 f(x)=kf(x+2)=k(x+2)(x+2)2 一 4=k(x+2)(x2+4x)=kx(x+2)(x+4)，x一 2，0)由导数定义及 f(0)=0，有令 f(0+)=f(0-)，则 ，所以当 时 f(x)在 x=0 处可导【知识模块】 一元函数微分学
