1、1专题训练(二) 特殊平行四边形的折叠问题 类型一 把一个顶点折叠到一条边上1如图 2 ZT1 所示，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，将矩形 ABCD 沿直线 DE 折叠，点 A 恰好落在边 BC 的点 F 处若 AE5，BF3，求 CD 的长图 2 ZT12如图 2 ZT2，将矩形纸片 ABCD 折叠，使顶点 A 与边 CD 上的点 E 重合，折痕 FG分别与 AB，CD 交于点 G，F，连接 AE，AE 与 FG 交于点 O.求证：A，G，E，F 四点围成的四边形是菱形图 2 ZT2 类型二 把一条边折叠到对角线上3.图 2 ZT3如图 2 ZT3 所示，在矩形纸片 ABCD
2、 中，已知 AD8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC重合，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE，且 EF3，则 AB 的长为( )A3 B4 C5 D64准备一张矩形纸片 ABCD，按图 2 ZT4 所示操作：将ABE 沿 BE 翻折，使点 A 落在对角线 BD 上的点 M 处，将CDF 沿 DF 翻折，使点 C落在对角线 BD 上的点 N 处2(1)求证：四边形 BFDE 是平行四边形；(2)若四边形 BFDE 是菱形，AB2，求菱形 BFDE 的面积图 2 ZT4 类型三 把一个顶点折叠到另一个顶点上5如图 2 ZT5 所示，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C
3、落在点 C处，折痕为 EF.若 AB1，BC2，则ABE 和BCF 的周长之和为( )A3 B4 C6 D8图 2 ZT5图 2 ZT662018三台县模拟 如图 2 ZT6，矩形纸片 ABCD 中，AB6 cm，AD10 cm，点 E，F 分别在矩形 ABCD 的边 AB，AD 上运动，将AEF 沿 EF 折叠，使点 A落在 BC 边上，当折痕 EF 移动时，点 A在 BC 边上也随之移动，则 AC 长度的取值范围为_7如图 2 ZT7 所示，在矩形 ABCD 中，AB8，BC16，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，求折痕 EF 的长图 2 ZT78如图 2 ZT8
4、 所示，将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕交 AD3于点 E，交 BC 于点 F，连接 CE.(1)求证：四边形 AFCE 为菱形；(2)设 AEa，DEb，CDc.请写出 a，b，c 三者之间的数量关系式，并说明理由图 2 ZT8 类型四 沿一条直线折叠图 2 ZT992018内江 如图 2 ZT9，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 交 AD 于点 F，已知BDC62，则DFE 的度数为( )A31 B28C62 D5610将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图 2 ZT10 所示的图形若CED56，则AED_.图 2
5、 ZT10图 2 ZT1111如图 2 ZT11 所示，将菱形纸片 ABCD 折叠，使点 A 恰好落在菱形的对称中心点O 处，折痕为 EF.若菱形 ABCD 的边长为 2 cm，A120，则 EF_ cm.12如图 2 ZT12，将一张矩形纸片 ABCD 折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 MN，展开；第二步：再一次折叠，使点 A 落在 MN 上的点 A处，并使折痕经过点 B，得到折痕BE，同时，得到线段 BA，EA，展开，如图；第三步：再沿 EA所在的直线折叠，点 B 落在 AD 上的点 B处，得到折痕 EF，同时4得到线段 BF，展开，如图.求证：(1)
6、ABE30；(2)四边形 BFBE 为菱形图 2 ZT125详解详析专题训练(二) 特殊平行四边形的折叠问题1解：根据折叠的性质，知 EFAE5.根据矩形的性质，知B90.在 RtBEF中，B90，EF5，BF3，根据勾股定理，得BE 4，CDABAEBE54 9.EF2 BF2 52 322证明：连接 AF.由折叠的性质，可得 AGEG，AGFEGF.DCAB，EFGAGF，EFGEGF，EFEG.又AGEG，EFAG，四边形 AGEF 是平行四边形又AGEG，平行四边形 AGEF 是菱形，即 A，G，E，F 四点围成的四边形是菱形3答案 D4解：(1)证明：四边形 ABCD 是矩形，ABC
7、D，ADBC，ABDCDB.又由折叠的性质，知ABEEBD，CDFFDB，EBDFDB，EBDF.又EDBF，四边形 BFDE 是平行四边形(2)四边形 BFDE 是菱形，BEED，EBDFBDABE.四边形 ABCD 是矩形，ABC90，ABE30.A90，AB2，AE ，BFBE2AE ，2 33 4 33菱形 BFDE 的面积为 2 .4 33 8 335答案 C6答案 4 cmAC8 cm解析 四边形 ABCD 是矩形，C90，BCAD10 cm，CDAB6 cm.当点 E 与点 B 重合时，AC 的长度最小，如图所示：此时 BABA6 cm，6ACBCBA1064( cm)；当点 F
8、 与点 D 重合时，AC 的长度最大，如图所示：此时 ADAD10 cm，AC 8( cm)102 62综上所述，AC 长度的取值范围为 4 cmAC8 cm.故答案为：4 cmAC8 cm.7解：设 BEx，则 CEBCBE16x.沿 EF 翻折后点 C 与点 A 重合，AECE16x.在 RtABE 中，AB 2BE 2AE 2，即 82x 2(16x) 2，解得 x6，AE16610.由翻折的性质，得AEFCEF.矩形 ABCD 的对边 ADBC，AFECEF，AEFAFE，AFAE10.过点 E 作 EHAD 于点 H，则四边形 ABEH 是矩形，EHAB8，AHBE6，FHAFAH1
9、064.在 RtEFH 中，EF 4 .EH2 FH2 82 42 58解：(1)证明：四边形 ABCD 是矩形，ADBC，AEFCFE.由折叠的性质，得AFECFE，AFCF，AEFAFE，AFAE，AFCFAE.又ADCD，DD，DEDE，ADECDE，AECE，AFCFCEAE，四边形 AFCE 为菱形(2)a，b，c 三者之间的数量关系式为 a2b 2c 2.理由如下：由(1)知 CEAE.四边形 ABCD 是矩形，D90.AEa，DEb，CDc，CEAEa.在 RtDCE 中，CE 2CD 2DE 2，a，b，c 三者之间的数量关系式可写为 a2b 2c 2.79解析 D 四边形 A
10、BCD 为矩形，ADC90.BDC62，ADB906228.ADBC，ADBCBD.根据题意可知EBDCBD，EBDADB28，DFEADBEBD56.故选 D.10答案 6211答案 312证明：(1)第二步折叠使点 A 落在 MN 上的点 A处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BE，AEBAEB.第三步折叠，点 B 落在 AD 上的点 B处，得到折痕 EF，同时得到线段 BF，AEBFEB.AEBAEBFEB180，AEBAEBFEB60.又A90，ABE30.(2)AEBFEB60，EBBF，AEBFEBBFEEFB60，BEF 和EFB都是等边三角形，BEBFEFEBFB，四边形 BFBE 为菱形
