1、1第 19讲 三角函数的图像与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质(下表中 kZ)函数 y=sin x y=cos x y=tan x图像定义域 R Rx xR,且 x|k + ,kZ2值域 周期性 2 2 奇偶性 奇函数单调性2k -,2k + 上2 2为增函数; 上为减函数 2k,2 k +上为减函数; 上为增函数 k - ,k + 上2 2为增函数对称中心k + ,02 ,0k2对称轴 x=k +2 无常用结论1.函数 y=Asin(x+ )和 y=Acos(x+ )的最小正周期 T= ,函数 y=tan(x+ )的最小2| |正周期 T= .| |22.正弦曲线、余弦曲线相邻两
2、对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 周期 .正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期 .143.三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin x 或 y=Atan x 的形式,偶函数一般可化为y=Acos x+b 的形式 .题组一 常识题1.教材改编 函数 y=2sin(2x-1)的最小正周期是 . 2.教材改编 若函数 y=Asin x+1(A0)的最大值是 3,则它的最小值是 . 3.教材改编 函数 y=2cos x在 -,0上是 函数,在0,上是 函数 . 4.教材改编 函数 f(x)= 的定义域为 . tanx-1题组二 常错题索引:忽视 y=As
3、in x(或 y=Acos x)中 A对函数单调性的影响;忽视函数的定义域;忽视正、余弦函数的有界性;忽视正切函数的周期性 .5.函数 y=1-2cos x的单调递减区间是 . 6.函数 y=cos xtan x的值域是 . 7.函数 y=-cos2x+3cos x-1的最大值为 . 8.函数 y=tan 图像的对称中心是 . (x+4)探究点一 三角函数的定义域例 1 (1)函数 f(x)= +tan 的定义域为 . 2-log2x (x+3)(2)函数 y=ln(2cos x+1)+ 的定义域为 . sinx总结反思 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式(组),常借助三角函数线
4、或三角函数的图像来求解 .3变式题 (1)函数 y= 的定义域为 . sinx-cosx(2)函数 f(x)= 的定义域是 . sinx-13+2sinx探究点二 三角函数的值域或最值例 2 (1)函数 y=2cos 2x-sin x+1的最大值是 . (2)2018沧州质检 已知 x ,则函数 f(x)=2cos xsin x+ - sin2x+sin -4,6 3 3xcos x的最大值与最小值之和为 . 总结反思 求解三角函数的值域(最值)的几种方法: 形如 y=asin x+bcos x+c的三角函数,化为 y=Asin(x+ )+k的形式,再求值域(最值); 形如 y=asin2x+
5、bsin x+c的三角函数,可设 t=sin x,化为关于 t的二次函数求值域(最值); 形如 y=asin xcos x+b(sin xcos x)+c的三角函数,可设 t=sin xcos x,化为关于 t的二次函数求值域(最值) .变式题 (1)函数 f(x)=sin -cos 的最大值为 ( )(x-4) (x-4)A.2 B. 2C.2 D.222(2)函数 y=cos x-sin x+4sin xcos x的值域是 . 探究点三 三角函数性质的有关问题微点 1 三角函数的周期性例 3 (1)在函数 y= cos|2x|,y=| cos x|,y= cos ,y= tan 中,最小正
6、2x+6) (2x-4)周期为 的所有函数为 ( )A. B.C. D.(2)若函数 f(x)=1+asin ax+ (a0)的最大值为 3,则 f(x)的最小正周期为 . 64总结反思 (1)公式法:函数 y=Asin(x+ )或 y=Acos(x+ )的最小正周期T= ,y=Atan(x+ )的最小正周期 T= ;(2)图像法:利用三角函数图像的特征求周期 .2| | | |微点 2 三角函数的对称性例 4 (1)2018广西贺州联考 若函数 f(x)与 g(x)的图像有一条相同的对称轴,则称这两个函数互为同轴函数 .下列四个函数中,与 f(x)= x2-x互为同轴函数的是( )12A.
7、g(x)=cos(2x-1) B.g(x)=sin xC.g(x)=tan x D.g(x)=cos x(2)2018重庆合川区三模 函数 f(x)=Asin(x+ ) A0, 0,| 0,函数 f(x)=cos x+ 在 上单调递增,则 3 (3,2)的取值范围是( )A. B.(23,103) 23,103C. D.2,103 (2,103)总结反思 (1)形如 y=Asin(x+ )的函数的单调性问题,一般是将 x+ 看成一个整体,再结合图像利用 y=sin x的单调性求解;(2)如果函数中自变量的系数为负值,要根据诱导公式把自变量系数化为正值,再确定其单调性 .应用演练1.【微点 3】
8、2018西安八校联考 已知函数 f(x)=cos(x+ )(0bcB.bcaC.acbD.bac3.【微点 2】2019九江一中月考 已知函数 f(x)=Asin 的图像上相邻两个对(x +6)称中心之间的距离为 2,则函数的对称轴方程可能是 ( )6A.x=1 B.x=14C.x= D.x=-1234.【微点 1】2018上海金山区二模 函数 y=3sin 2x+ 的最小正周期 T= . 3第 19讲 三角函数的图像与性质考试说明 1 .能画出函数 y=sin x,y=cos x,y=tan x的图像,了解三角函数的周期性 .2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和
9、最小值、图像与x轴的交点等),理解正切函数在区间 - , 内的单调性 .22【课前双基巩固】知识聚焦1.-1,1 -1,1 R 奇函数 偶函数 2k + ,2k + 2k -,2 k (k,0) 2 32x=k对点演练1. 解析 最小正周期 T= = = .2 222.-1 解析 依题意得 A+1=3,所以 A=2,所以函数 y=2sin x+1的最小值为 1-2=-1.3.增 减 解析 由余弦函数的单调性,得函数 y=2cos x在 -,0上是增函数,在0,上是减函数 .4. (kZ) 解析 由题意知 tan x1,所以 +k x0,sinx 0, cosx -12,sinx 0,所以 2k
10、 x0,即 sin x- ,结合函数 y=sin x的图像(图略),可得函数 f(x)332的定义域为 x 2k - 0)的最大值为 1+a, 1+a=3,a= 2,(ax+6)因此 f(x)的最小正周期为 = .2a例 4 思路点拨 (1)函数 f(x)的图像的对称轴为直线 x=1,逐一验证各选项,可得符合条件的函数;(2)由周期求出 = 2,再由图像关于直线 x= 对称,求得 =- ,进而可求得 f(x)3 6的图像的对称中心 .(1)D (2)B 解析 (1)易知 f(x)= x2-x的图像关于直线 x=1对称 .对于选项 A,函数 g(x)12的图像的对称轴为直线 x= + (kZ);
11、对于选项 B,函数 g(x)的图像的对称轴为直线12k2x= +k(kZ);对于选项 C,函数 g(x)的图像不存在对称轴;对于选项 D,函数 g(x)的图像的对12称轴为直线 x=k(kZ),当 k=1时,其中有一条对称轴为直线 x=1,符合题意 .故选 D.(2)由题意可得 =, = 2,f (x)=Asin(2x+ ).2 函数 f(x)的图像关于直线 x= 对称, f =Asin =A,即3 (3) (23+ )sin =1.| 0, - x - ,kZ,3 2k 43 2k 3 函数 f(x)=cos 的单调递增区间为 ,kZ .(x +3) 2k -43 ,2k -3 f (x)在
12、 上单调递增,(3,2) kZ,2 2k -3 ,3 2k -43 ,解得 6k-4 4 k- ,kZ .由题意知, - , 0f(ln 3)f(ln ),即 acb.故选 C.3.C 解析 由题可知,函数的最小正周期 T=22=4,所以 = = .令 x+ =k + ,kZ,24 2 2 6 2解得 x=2k+ ,kZ,结合选项可知, x= 满足条件 .故选 C.23 234. 解析 易知 T= = .22【备选理由】 例 1考查余弦函数的有界性、二次函数在指定区间上的值域问题;例 2考查根据函数在所给区间内无最值求参数范围的问题;例 3考查抽象函数比较大小的问题,考查函数的单调性和对称性以
13、及三角函数的知识,是较好的综合题;例 4综合考查正弦函数与余弦函数的单调性,并结合充要条件进行考查 .11例 1 配合例 2使用 已知函数 f(x)=1+4cos x-4sin2x,x - , ,则 f(x)的值域为 423. 答案 -4,5解析 f(x)=1+4cos x-4sin2x=1+4cos x-4(1-cos2x)=4cos2x+4cos x-3=4 -4,(cosx+12)2因为 x ,所以 cos x ,所以 4 -4 -4,5,故函数 f(x)的-4,23 -12,1 (cosx+12)2值域为 -4,5.例 2 配合例 2使用 若函数 f(x)=sin ( 0)在区间(,2
14、)内没有最值,则(x +6) 的取值范围是 ( )A. B. (0,112 14,23 (0,16 13,23C. D.14,23 13,23解析 B 由正弦函数的单调性可知,函数 y=sin x的单调区间为 k + ,k + ,kZ .2 32由 k + x+ k + ,kZ,2 6 32得 x ,kZ .k +3 k +43 函数 f(x)=sin ( 0)在区间(,2)内没有最值,(x +6) 函数 f(x)在区间(,2)内单调, (,2) ,kZ,k +3 ,k +43 即 kZ,解得 k+ + ,kZ .k +3 ,k +43 2 , 13 k223由 k+ 0,故 0f(cos )
15、 B.f(sin )f(cos )C.f(sin )=f(cos ) D.以上情况均有可能解析 B 已知 f(x+1)的图像关于直线 x=-1对称,可得到 f(x)的图像关于直线 x=0对称,故函数 f(x)是偶函数 .因为 , 为钝角三角形中的两个锐角,所以 + ,所以 -2 2 ,故得到 sin sin =cos ,且 sin (0,1),cos (0,1) .因为函数 f(x)(2- )在区间( -1,0)上单调递减,所以函数 f(x)在(0,1)上单调递增,故 f(sin )f(cos ).故选 B.例 4 配合例 5使用 2018四川双流中学一模 “ = ”是“函数 y=cos 2x
16、与函数34y=sin(2x+ )在区间 上的单调性相同”的 ( )0,4A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 A 由题意可得,函数 y=cos 2x在区间 上单调递减 .0,4当 = 时,函数 y=sin ,x ,可得 2x+ ,34 (2x+34) 0,4 34 34,54 函数 y=sin 在区间 上单调递减, 充分性成立;(2x+34) 0,4易知当 = 时,函数 y=sin(2x+ )在区间 上也单调递减, 必要性不成立 .23 0,4 “= ”是“函数 y=cos 2x与函数 y=sin(2x+ )在区间 上的单调性相同”的充34 0,4分不必要条件 .
