1、1第二章 2.4 第 2课时 等比数列的性质A级 基础巩固一、选择题1在等比数列 an中， a1 a21， a3 a49，那么 a4 a5( B )A27 B27 或27C81 D81 或81解析 q2 9， q3，a3 a4a2 a1因此 a4 a5( a3 a4)q27 或27.故选 B2如果数列 an是等比数列，那么( A )A数列 a 是等比数列 B数列2 an是等比数列2nC数列lg an是等比数列 D数列 nan是等比数列解析 设 bn a ，则 ( )2 q2，2nbn 1bn a2n 1a2n an 1an bn成等比数列； 2 an1 an常数；2an 12an当 an1，且
2、 a2a86， a4 a65，则 _ _.a5a7 23解析 a4a6 a2a86， a4 a65， a4， a6是方程 x25 x60 的两个根，解得x12， x23，又 q1， a42， a63. .a5a7 a4a6 238(2017北京理，10)若等差数列 an和等比数列 bn满足a1 b11， a4 b48，则 _1_.a2b2解析 设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q，则由 a4 a13 d，得 d 3，a4 a13 8 13由 b4 b1q3得 q3 8，b4b1 8 1 q2.3 1.a2b2 a1 db1q 1 3 1 2三、解答题9(2016全国卷文，1
3、7)已知各项都为正数的数列 an满足 a11， a (2 an1 1)2nan2 an1 0.(1)求 a2， a3；(2)求 an的通项公式解析 (1)由题意可得 a2 ， a3 .12 14(2)由 a (2 an1 1) an2 an1 0 得2n2an1 (an1) an(an1)因为 an的各项都为正数，所以 .an 1an 12故 an是首项为 1，公比为 的等比数列，因此 an .12 12n 110等差数列 an中， a410，且 a3， a6， a10成等比数列，求数列 an前 20项的和S20.解析 设数列 an的公差为 d，则a3 a4 d10 d， a6 a42 d10
4、2 d，a10 a46 d106 d.由 a3， a6， a10成等比数列得， a3a10 a ，26即(10 d)(106 d)(102 d)2，整理得 10d210 d0，解得 d0，或 d1.当 d0 时， S2020 a4200；当 d1 时， a1 a43 d10317，因此， S2020 a1 d207190330.20192B级 素养提升一、选择题1已知 2a3,2 b6,2 c12，则 a， b， c( A )A成等差数列不成等比数列 B成等比数列不成等差数列C成等差数列又成等比数列 D既不成等差数列又不成等比数列解析 解法一： alog 23， blog 26log 2 31
5、，clog 2 12log 2 32. b a c b.解法二：2 a2c36(2 b)2， a c2 b，选 A42(20182019 学年度山东日照青山中学高二月考)已知等比数列 an中， Tn表示前n项的积，若 T51，则( B )A a11 B a31C a41 D a51解析 an是等比数列， a1a5 a2a4 a ，23 T5 a1a2a3a4a5 a 1，53 a31.3若方程 x25 x m0 与 x210 x n0 的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为 1的等比数列，则 的值是( D )mnA4 B2 C D12 14解析 由题意可知 1是方程之一根，若 1是方程 x25
6、 x m0 的根则 m4，另一根为 4，设 x3， x4是方程 x210 x n0 的根，则 x3 x410，这四个数的排列顺序只能为 1、 x3、4、 x4，公比为 2、 x32、 x48、 n16、 ；若 1是方程 x210 x n0 的mn 14根，另一根为 9，则 n9，设 x25 x m0 之两根为 x1、 x2则 x1 x25，无论什么顺序均不合题意4已知等比数列 an中，各项都是正数，且 a1， a3,2a2成等差数列，则 等于12 a9 a10a7 a8( C )A1 B12 2C32 D322 2解析 设等比数列 an的公比为 q， a1， a3,2a2成等差数列，12 a3
7、 a12 a2， a1q2 a12 a1q， q22 q10， q1 .2 an0， q0， q1 .2 q2(1 )232 .a9 a10a7 a8 2 2二、填空题5在 3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去 6则成等比数列，则此未知数是_3 或 27_.解析 设此三数为 3、 a、 b，则Error!，5解得Error! 或Error!.这个未知数为 3或 27.6(2015浙江文，10)已知 an是等差数列，公差 d不为零，若 a2， a3， a7成等比数列，且 2a1 a21，则 a1_ _， d_1_.23解析 由题可得，( a12 d)2( a1 d)(a16
8、 d)，故有 3a12 d0，又因为2a1 a21，即 3a1 d1，所以 d1， a1 .23三、解答题7 an为等比数列，且 a1a964， a3 a720，求 a11.解析 an为等比数列， a1a9 a3a764，又 a3 a720， a3、 a7是方程 t220 t640 的两个根 a34， a716 或 a316， a74，当 a34 时， a3 a7 a3 a3q420，1 q45， q44.当 a316 时， a3 a7 a3(1 q4)20，1 q4 ， q4 .54 14 a11 a1q10 a3q864 或 1.C级 能力拔高1已知数列 an的前 n项和为 Sn，且 Sn
9、2 an2.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bnlog 2a1log 2a2log 2an，求使( n8) bn nk对任意 nN *恒成立的实数k的取值范围解析 (1)由 Sn2 an2 可得 a12，因为 Sn2 an2，所以，当 n2 时， an Sn Sn1 2 an2 an1, 即： 2.anan 1数列 an是以 a12 为首项，公比为 2的等比数列， 所以， an2 n(nN *)(2)bnlog 2a1log 2a2log 2an123 n .n n 12(n8) bn nk对任意 nN *恒成立，等价于 k对 nN *恒成立； n 8 n 12设 cn (n8)( n
10、1)，则当 n3 或 4时， cn取得最小值为10，所以 k10.122设 Sn为数列 an的前 n项和， Sn kn2 n， nN *，其中 k是常数6(1)求 a1及 an；(2)若对于任意的 mN *， am， a2m， a4m成等比数列，求 k的值解析 (1)由 Sn kn2 n，得 a1 S1 k1.当 n2 时， an Sn Sn1 2 kn k1.经验证， n1 时，上式也成立， an2 kn k1.(2) am， a2m， a4m成等比数列， a ama4m，2m即(4 mk k1) 2(2 km k1)(8 km k1)，整理得 mk(k1)0.对任意的 mN *成立， k0 或 k1.
