1、1解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法类型一 特殊四边形中求最值、定值问题一、利用对称性求最值【方法 10】1(2017青山区期中)如图，四边形 ABCD 是菱形， AC8， DB6， P， Q 分别是AC， AD 上的动点，连接 DP， PQ，则 DP PQ 的最小值为_第 1 题图 第 2 题图2(2017安顺中考)如图，正方形 ABCD 的边长为 6， ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD PE 的和最小，则这个最小值为_二、利用面积法求定值3如图，在矩形 ABCD 中，点 P 是线段 BC 上一动点，且PE AC， PF BD
2、， AB6， BC8，则 PE PF 的值为_【变式题】矩形两条垂线段之和菱形两条垂线段之和正方形两条垂线段之和(1)(2017眉山期末)如图，菱形 ABCD 的周长为 40，面积为 25， P 是对角线 BD 上一点，分别作 P 点到直线 AB、 AD 的垂线段 PE、 PF，则 PE PF 等于_变式题(1)图 变式题(2)图(2)如图，正方形 ABCD 的边长为 1， E 为对角线 BD 上一点且 BE BC，点 P 为线段 CE上一动点，且 PM BE 于 M， PN BC 于 N，则 PM PN 的值为_类型二 正方形中利用旋转性解题4如图，在四边形 ABCD 中， ADC ABC9
3、0， AD CD， DP AB 于 P.若四边形ABCD 的面积是 18，则 DP 的长是_5如图，在正方形 ABCD 中，点 E， F 分别在 BC， CD 上， EAF45.求证： S2AEF S ABE S ADF.6如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC， BD 交于点 O， P 为正方形 ABCD 外一点，且BP CP，连接 OP.求证： BP CP OP.2参考答案与解析31. 解析：如图，过点 Q 作 QE AC 交 AB 于点 E，则 PQ PE. DP PQ DP PE.245当点 D， P， E 三点共线的时候 DP PQ DP PE DE 最小，且 DE 即为所求当
4、DE AB 时，DE 最小四边形 ABCD 是菱形， AC BD， OA AC4， OB BD3， AB5. S 菱形12 12ABCD ACBD ABDE， 865 DE， DE . DP PQ 的最小值为 .12 12 245 24526 解析：如图，设 BE 与 AC 交于点 P，连接 BD.点 B 与 D 关于 AC 对称， PD PB， PD PE PB PE BE，即 P 为 AC 与 BE 的交点时， PD PE 最小，为 BE 的长度正方形 ABCD 的边长为 6， AB6.又 ABE 是等边三角形， BE AB6.故所求最小值为 6.故答案为 6.3. 解析：四边形 ABCD
5、 为矩形， ABC90.245 AB6， BC8， AC10， OB OC AC5.如图，连接 OP， S OBP S OCP S12OBC， S OBC， S OBC. S OBC S 矩形OBPF2 OCPE2 5PF2 5PE2 14ABCD ABBC 6812， 12， PE PF .14 14 5PF2 5PE2 245【变式题】(1) 解析：菱形 ABCD 的周长为 40，面积为 25， AB AD10， S52ABD .连接 AP，则 S ABD S ABP S ADP， 10(PE PF) ， PE PF .252 12 252 52(2) 解析：连接 BP，过点 E 作 EH
6、 BC 于 H. S BPE S BPC S BEC， 22 BEPM24 .又 BE BC， ，即 PM PN EH. BEH 为等腰直角三角形，BCPN2 BCEH2 PM2 PN2 EH2且 BE BC1， EH ， PM PN EH .22 2243 25证明：延长 CB 到点 H，使得 HB DF，连接 AH.四边形 ABCD 是正方形， ABH D90， AB AD. ADF 绕点 A 顺时针旋转 90后能和 ABH 重合， AH AF， BAH DAF. HAE HAB BAE DAF BAE90 EAF904545， HAE EAF45.又 AE AE， AEF 与 AEH 关
7、于直线 AE 对称， S AEF S AEH S ABE S ABH S ABE S ADF.6证明：四边形 ABCD 是正方形， OB OC， BOC90.将 OCP 顺时针旋转90至 OBE(如图所示)， OE OP， BE CP， OBE OCP， BOE COP. BP CP， BPC90. BOC OBP BPC OCP360， OBP OCP180， OBP OBE180， E， B， P 在同一直线上 POC POB BOC90， BOE COP， BOE POB90，即 EOP90.在 Rt EOP 中，由勾股定理得PE OP. PE BE BP， BE CP， BP CP OP.OE2 OP2 OP2 OP2 2 2
