1、1专题 02 分段函数及其应用第四季1函数 ，若关于 x 的方程 2f(x)2(2a3)f(x)3a0 有五个不同的实数解，则 a 的取值范围是_【答案】【解析】由 2f(x)2(2a3)f(x)3a0 得 f(x) 或 f(x)a.由已知画出函数 f(x)的大致图象，要使关于 x 的方程 2f(x)2(2a3)f(x)3a0 有五个不同的实数解，即要使函数 yf(x)的图象与直线 y 、ya 共有五个不同的交点，a 的取值范围是 ，故答案为 .2已知函数 ，若存在 实数 、 、 、 ，满足 ，其中，则 的取值范围是_【答案】【解析】画出函数 的图象，如下图所示，2由图象可得 ， ，则 ， ，
2、令 ，即 ，解得 或 ，而二次函数 的图象的对称轴为直线 ，3已知函数 设 为实数，若存在实数 ，使得成立，则 的取值范围为 _【答案】【解析】当 时， ，函数的解析式 ，结合二次函数的性质可得 的值域为 ，当 时， ，则 ，据此可知，函数 的值域为 ，3由 可得 ，即： ，解得： ，即 的取值范围为 .4已知函数 ， ， 均为一次函数，若实数 满足 ，则_【答案】25函数 ，定义函数 ，给出下列命题： ；函数 是偶函数；当 a0 时，若 0mn1，则有 F（m）F（n）0 成立；当 a0 时，函数 有 4 个零点其中正确命题的序号为_ 【答案】【解析】对于，函数 ，函数 ， ， F(x)|
3、f(x)|故不正确对于， ，4函数 是偶函数故正确对于，由 00 时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，当 x0 时， F(x)的最小值为 F(1)=1，当 x0 时，函数 F(x)的图象与 y=2 有 2 个交点，又函数 F(x)是偶函数，当 x0 时，函数 y=F(x)2 有 4 个零点所以正确综上可得正确6已知函数 ，若 ，且 的最小值为 m，则_.【答案】3【解析】由 可得 ，即 ， ，则 ，当且仅当 ，即 时， 取得最小值 2.故5.即答案为 3.7已知 ，函数 ， 若关于 的方程 有 个解，则 的取值范围为_【答案】 .【解析】令 g（x）=t，则方程 f（t）=
4、 的解有 4 个，根据图象可知，01且 4 个解分别为 t1=1，t 2=1+，t 3=10 ， 则 x24x+1+4=1，x 24x+1+4=1+，x24x+1+4=10 ，x 24x+1+4= 均有两个不相等的实根，则 10，且 20，且 30， 即 164（2+5）0 且 164（2+3）0，解得 0 ，当 0 时， 3=164（1+410 ）0 即 34+10 0 恒成立，同理 也恒成立；故 的取值范围为（0， ） 故答案为：（0， ） 。8若函数 ，则不等式 的解集为_【答案】【解析】令 ，解得 或 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以不用考虑，再令 ，解得 ，又因为 ，所以不可能大于 ，
5、6所以不等式 的解集为 .9函数 的函数值表示不超过 的最大整数，例如， = = 已知定义在 R 上的函数= ，若 = = ，则 A 中所有元素 的和为_【答案】4【解析】由题意， ， ，当 时， = = ；当 时， = ；当 x=1 时， = = ， = ，则 A 中所有元素的和为 4，故答案为 410已知函数 ，若方程 有四个不同的解 ，且 ，则的取值范围是_.【答案】【解析】作出函数 的图象，方程 有四个不同的解 ，且 ，由图可知 ，7故 ，其在 上是增函数，故 ，即 ，故答案为 .11已知函数 ，若 恒成立，则 的最小值为_.【答案】【解析】因为 ，所以 ，可得 ， ， ,在 上递减，
6、在 上递增，恒成立，或 ，故 的最小值为 2，故答案为 2.12设 是自然对数的底 数，函数 有零点，且所有零点的和不大于 6，则 的取值范围为_【答案】8【解析】 ，时， 在 单调递减，且 在 有一个小于 0 的零点；时， 在 单调递增， 在 有一个小于 1 的零点，因此满足条件 .(3) 时， 在 上没有零点，在 上只有零点 2，满足条件.(4) 时， 在 上没有零点，在 上有两个不相等的零点，且和为 ,故满足题意的范围是 .综上所述， 的取值范围为 ，故答案为 .13已知函数 设 ，若 中有且仅有 4 个元素，则满足条件的整数 的个数为A31 B32 C33 D34【答案】D【解析】因为
7、 ，符合条件的整数根 ，除零外有且只有三个即可，画出 的函数图象如图所示，9当 时， ；当 时， ，即 轴左侧 的图象在 下面， 轴右侧 的图象在 上面， ， ，平移 ，由图可知，当 时， ,符合题意；时， ,符合题意；时， ,符合题意；时， ,符合题意整数 的值为及 ，共 个，故选 D.14设函数 ，则 _；若 ，则实数 m 的取值范围是_【答案】0 【解析】根据题意，函数 ，则 ，则 ，对于 ，分 3 种情况讨论：当 时， ， ，符合题意；当 时， ，则 ，若 ，即 ，10又由 ，解可得 ，此时 的取值范围为 ；当 时， ，当 时， ，此时 ，满足 ，当 时， ，分析可得： ，此时 恒成立
8、，此时 的取值范围为 ；综合可得： 的取值范围为 ；故答案为：0，15已知函数 ，若关于 x 的函数 有 6 个不同的零点 ，则实数 m 的取值范围是_【答案】【解析】作出 的函数图象如右：设 ，则当 或 时，方程 只有 1 解，当 或 时，方程 有 2 解，当 时，方程 有 3 解，当 时，方程 无解关于 的函数 有 6 个不同的零点，关于 的方程 在 上有两解，解得 11故答案为16已知 ，若函数 有三个不同的零点 ，则的取值范围是_【答案】【解析】函数 ，图象如图，函数 有三个不同的零点 ， ， ，且 ，即方程 有三个不同的实数根， ， ，且 ，当 时， ，因为 ，所以 ，当且仅当 时取
9、得最大值当 时， ； ，此时 ，由 ，可得 ， ， 递减， ,的取值范围是 故答案为 1217已知函数 ，则函数 的零点中最大的是_.【答案】【解析】令 ，当 时，可得 ，解得 ，则 解得 ，当时，可得 ，解得 ，则 解得 ， 解得 ，故三者中最大的零点为 ，故填 .18已知函数 f（x） ，设 aR，若关于 x 的不等式 f(x) 在 R 上恒成立，则 a的取值范围是_【答案】 a2【解析】画出函数 的图像如下图所示，而 ，是两条射线组成，且零点为 .将向左平移，直到和函数 图像相 切的位置，联立方程 消去 并化简得 ，令判别 式 ，解得 .将 向右平移，直到和函数 图像相切的位置，联立方程消去 并化简得 ，令判别式 ，解得 .根据图像可知1319已知函数 ， ，若存在 ，使得 .则实数的取值范围是_.【答案】20设函数 ，若方程 恰好有 个零点，则实数 的取值范围为_【答案】【解析 】当 时， ，所以 是方程的一个零点；14当 时， ，所以 当 时， ，则 画出关于 m 的函数图像，如下图所以满足有两个交点的 m 取值范围为 ，因为 也是一个零点所以有 3 个零点的 m 取值范围为 .
