1、1专题 03利用导数研究函数的性质第一季1对于定义域为 R的函数 fx，若满足 0f； 当 xR，且 0时，都有 0xf； 当 120x，且 12时，都有 ，则称 f为“偏对称函数” 现给出四个函数：； ；则其中是“偏对称函数”的函数个数为A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】因为条件 0xf，所以 x与 f同号，不符合， 1fx不是“偏对称函数” ；对于； ，满足，构造函数 ， 在 R 上递增，当 120x，且12x时，都有 ， ，满足条件 ， 是“偏对称函数” ；对于 3fx， ，满足条件，画出函数3yfx的图象以及 3yfx在原点处的切线， 2y 关于 y 轴对称直线 2yx，如图，由
2、图可知 满足条件，所以知 3yfx是“偏对称函数” ；函数 4fx为 偶函数， ，不符合，函数 4fx不是， “偏对称函数” ，故选 C.2已知 有两个零点 12x，下列说法正确的是2A ae B 12xC 12x D有极小值 0x且【答案】B【解析】 当 a时，函数 fx为单调递增函数，至多一个零点，所以 0a 令 0xea ，则 为 fx极小值点，且，不选 A.所以 令 ，则因为所以 ，不选 D令 12x,不选 C.因此选 B.3已知 是函数 与 图象的两个不同的交点，则 的取值范围是( )A B C D【答案】D【解析】由 得 ，设 ，则 ，当 时函数单调递减，当 时函数单调递增，故 由
3、题意得 （令 ）是函数 图象与直线 的两个交点的横坐标，即 ，结合图象可得 设 ，则 ， 在 上单调递增，3 ， ， ，故 ，且 在 上单调递减， ，即 由 ，得 ，故 在 上单调递增 设 ，可得函数 在 上单调递减， ，即 ，又 ， ， ，即 ， ， 综上可得 ，即所求范围为 选 D4已知 在点 1,f处的切线方程为 ， ， na的前 项和为 nS，则下列选项正确的是（ ）A B C D 【答案】A4令 1xn，则 ， ，故 设 ，则 ， hx在 1,上单调递增， ，即 ，令 1xn，则 ， ，故 综上选 A5对于任意的实数 1,xe，总存在三个不同的实数 1,4y，使得 成立，则实数 a的
4、取值范围是（ ）A 316,e B 3160,e C D 【答案】A【解析】5由题设有 .令， .，当 1,xe时， 0fx，fx在 1,e为单调增函数，所以 f的值域为 1,ae.，当 1,0x时， 0gx，当 2时， ，当 2,4时， 0gx，所以当 ,x时， x是减函数，当 0时， g是增函数，当 2,4x时， x是减函数，所以 的图像如图所示.因为关于 y的方程 ，对任意的 1,xe总有三个不同的实数根，所以 ，也就是 316ae，选 A.66已知函数 ，则下面对函数 的描述正确的是（ ）A ， B ，C ， D【答案】B【解析】根据题意，可以求得函数的定义域为 ， ，可以确定 恒成立
5、，所以 在 上是增函数，又 ， ，所以 ，满足 ，所以函数 在 上是减函数，在 上是增函数， 是最小值，满足 ， 在 上是增函数，从而有 ，结合该值的大小，可知最小值是负数，可排除 A,D，且 ，从而排除 C项，从而求得结果，故选 B.7已知函数 =x2lnx-a(x2-1)(aR),若 0在 x(0,1 时恒成立,则实数 a的取值范围是A ,+ ） B ,+) C2,+) D1,+)【答案】B【解析】根据题意，有 恒成立，当 时，将其变形为 恒成立，即，令 ，利用求得法则及求导公式可求得 ，令，可得 ，可得，因为 ，所以 时， ， 时，7，所以函数 在 时单调减，在 时单调增，即，而 ，所以
6、 在 上是减函数，且 ，所以函数在区间 上满足 恒成立，同理也可以确定 在 上也成立，即 在上恒成立，即 在 上单调增，且 ，故所求的实数 的取值范围是 ，故选 B.8已知 是定义在区间 上的函数， 是 的导函数，且 ， ，则不等式 的解集是（ ）A B C D【答案】C9已知函数 ，若对区间 内的任意实数 ， ， ，都有 则实数 的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】根据题意，题中条件可以转化为 ， ，当 时， 恒成立，8所以 在区间 上是增函数，即 ，即 ，解得 ，当 时， 恒成立，所以 在区间 上是减函数，即 ，即 ，解得 ，当 时，函数 在 上单调增，在 上单调减，所以有
7、，即 ， 解得 ，综上 ，故选 C.10已知函数 ,在区 间(0,1)内任取两个实数 ,且 ，若不等式恒成立，则实数 a的取值范围是( )A B C D【答案】D【解析】由已知 可得 令 ，则有因为 所以又因为所以 在 上为单调递增函数在 上恒成立即 恒成立，令 在 上为单调递增函数，所以9所以 ，即 的取值范围为所以选 D11若直线 ： 与曲线 ： 没有公共点，则实数 的最大值为（ ）A B C D【答案】D令 ，得当 时， ， 单调递增当 时， ， 单调递减当 时， ， 单调递 减且 ，当 时， 所以 因为方程无解，所以 所以 k最大值为 1所以选 D12已知函数 ， ，若 成立，则 的最
8、小值是（ ）A B C D【答案】A【解析】10设 ，则 ， ， ， ，令 ，则 ， ， 是 上的增函数，又 ，当 时， ，当 时， ，即 在 上单调递减，在 上单调递增， 是极小值也是最小值， 的最小值是 故选 A13已知函数 在区间 上是单调递增函数，则 的取值范围为（ ）A B C D【答案】A【解析】因为 在区间 上是单调递增函数所以 ，而在区间 上 所以 ，即 令 ，则分子分母同时除以 ，得令 ，则 在区间 上为增函数所以所以 在区间 上恒成立即 在区间 上恒成立11所以函数 在区 间 上为单调递减函数所以所以选 A14设 在 的导函数为 ，且当 时，有 ，若 ，则在区间内，方程 的
9、解的个数为A0 B1 C0 或 1 D4【答案】B【解析】利用微分中值定理可得， ，使得 ，因为当 时， ，故 ，从而， ，又因为 ，且 在 上连续，故利用连续函数的零点存在定理可得， ，使得 ，下面证明 的唯一性.如果存在 ，使得 ，利用罗尔中值定理可得， ，使得 ，这与 矛盾，故方程 在区间 内有且仅有一个根，故选 B.15设函数 ，函数 ，若对任意的 ，总存在 ，使得 ，则实数 的取值范围 是（ ）A BC D【答案】D【解析】12对函数 求导，得 令 ，得 且当 时， ；当 时，所以 在 处取得最小值 ，且 所以 的值域为 因为对任意的 ，总存在 ，使得所以 当 时， 为单调递增函数所
10、以 ，代入得 所以选 D16已知函数 ，若函数 的图象上存在点 ，使得 在点处的切线与 的图象也相切，则 的取值范围是A B C D【答案】B【解析】的公共切点为 ，设切线与 的图象相切与点由题意可得 ，解得 所以 令 则令 ，解得 当 时， 13当 时， ，函数 在 上单调递增当 时， ，函数 在 上单调递减当 t从右侧趋近于 0时， 趋近于 0当 t趋近于 时， 趋近于 0所以 所以选 B17已知函数 ， ，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为A B C D【答案】D【解析】因为所以 即 ，即当 时， 恒成立，所以 在 内是一个增函数，设 ，则有 即 ，设 则有 ，当 时，即 ，当
11、 时，即所以当 时， 最小， 即 ，故选 D。18设函数的定义域为 D，若满足条件：存在 ，使 在 上的值域为 ，则称 为“倍缩函数”.若函数 为 “倍缩函数” ，则实数 t的取值范围是( )14A BC D【答案】B解得代入方程得解得 ，因为有两个不等的实数根所以 t的取值范围为所以选 B19已知函数 有两个零点，则 的取值范围为（ ）A B C D【答案】B15先增后减，即从负无穷增大到 ，然后递减到 ，而函数 是 时由正无穷递减到 0，然后又逐渐增大，所以 ，即所以选 B20已知点 为函数 的图象上任意一点，点 为圆 上任意一点，则线段 的长度的最小值为（ ）A B C D【答案】A【解析】依题意，圆心为 ，设 点的坐标为 ，由两点间距离公式得，设 ，令 解得 ，由于 ，可知当时， 递增， 时， ， 递减，故当 时取得极大值也是最大值为 ，故，故 时， 且 ，所以 ，函数单调递减.当 时， ，当 时， ，即 单调 递增，且 ，即 ， 单调递增，而 ，故当 时，16函数单调递增，故函数在 处取 得极小值也是最小值为 ，故 的最小值为，此时 .故选 A.
