1、1第 1讲 直线与圆锥曲线的位置关系A组 小题提速练一、选择题1若直线 l1：( a1) x y10 和直线 l2：3 x ay20 垂直，则实数 a的值为( )A. B.12 32C. D.14 34解析：由已知得 3(a1) a0，解得 a ，故选 D.34答案：D2 “ab4”是“直线 2x ay10 与直线 bx2 y20 平行”的( )A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件解析：因为两条直线平行，所以斜率相等，即 ，可得 ab4，又当 a1， b4 时，2a b2满足 ab4，但是两直线重合，故选 C.答案：C3当 a为任意实数时，直线( a1) x
2、 y a10 恒过定点 C，则以 C为圆心， 为半径5的圆的方程为( )A x2 y22 x4 y0B x2 y22 x4 y0C x2 y22 x4 y0D x2 y22 x4 y0解析：由( a1) x y a10 得( x1) a( x y1)0，由 x10 且 x y10，解得 x1， y2，即该直线恒过点(1,2)，所求圆的方程为( x1) 2( y2) 25，即x2 y22 x4 y0.答案：C4(2018北京西城区模拟)与直线 x y20 和曲线 x2 y212 x12 y540 都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A( x2) 2( y2) 22B( x2) 2( y2) 2
3、22C( x2) 2( y2) 22D( x2) 2( y2) 22解析：由题意知，曲线为( x6) 2( y6) 218，过圆心(6,6)作直线 x y20 的垂线，垂线方程为 y x，则所求的最小圆的圆心必在直线 y x上，又(6,6)到直线 x y20的距离 d 5 ，故最小圆的半径为 ，圆心坐标为(2,2)，所以标准方程为|6 6 2|2 2 2(x2) 2( y2) 22.答案：D5一束光线从圆 C的圆心 C(1,1)出发，经 x轴反射到圆 C1：( x2) 2( y3) 21 上的最短路程刚好是圆 C的直径，则圆 C的方程为( )A( x1) 2( y1) 24B( x1) 2(
4、y1) 25C( x1) 2( y1) 216D( x1) 2( y1) 225解析：圆 C1的圆心 C1的坐标为(2,3)，半径为 r11.点 C(1,1)关于 x轴的对称点 C的坐标为(1，1)因为 C在反射线上，所以最短路程为| C C1| r1，即14.故圆 C的半径为 r 42，所以圆 C的方程为2 1 2 3 1 212(x1) 2( y1) 24，故选 A.答案：A6圆( x2) 2 y24 与圆( x2) 2( y1) 29 的位置关系为( )A内切 B相交C外切 D相离解析：两圆的圆心距离为 ，两圆的半径之差为 1、半径之和为 5，而 10)与圆 x2 y24 交于不同的两点
5、 A， B.O是坐标原点，且有| | | |，那么 k的取值范围是( )OA OB 33 AB A( ，) B ，)3 2C ，2 ) D ，2 )2 2 3 2解析：当| | | |时， O， A， B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA OB 33 AB OA OB， AOB120，从而圆心 O到直线 x y k0( k0)的距离为 1，此时 k ；当2k 时，| | | |，又直线与圆 x2 y24 有两个不同的交点，故 k0， b0)关于直线 x y10 对称，则 ab的最大值是( )A. B.12 18C. D.14 24解析：由圆 x2 y24 ax2 by b20( a0， b0
6、)关于直线 x y10 对称，可得圆心(2a， b)在直线 x y10 上，故有 2a b10，即 2a b12 ，解得2abab ，故 ab的最大值为 ，故选 B.18 18答案：B二、填空题13已知圆 C的圆心在 x轴的正半轴上，点 M(0， )在圆 C上，且圆心到直线 2x y05的距离为 ，则圆 C的方程为_455解析：设圆心为( a,0)(a0)，则圆心到直线 2x y0 的距离 d ，得 a2，|2a 0|4 1 455半径 r 3，所以圆 C的方程为( x2) 2 y29. a 0 2 0 5 2答案：( x2) 2 y2914点 P(1,2)和圆 C： x2 y22 kx2 y
7、 k20 上的点的距离的最小值是_解析：圆的方程化为标准式为( x k)2( y1) 21.圆心 C( k，1)，半径 r1.易知点 P(1,2)在圆外点 P到圆心 C的距离为：|PC| 3. k 1 2 32 k 1 2 9| PC|min3.点 P和圆 C上点的最小距离 dmin| PC|min r312.答案：215过点 M(1,2)的直线 l与圆 C：( x3) 2( y4) 225 交于 A， B两点， C为圆心，当 ACB最小时，直线 l的方程是_解析：验证得 M(1,2)在圆内，当 ACB最小时，直线 l与 CM垂直，又圆心为(3,4)，则kCM 1，则 kl1，故直线 l的方程
8、为 y2( x1)，整理得 x y30.4 23 1答案： x y30B组 大题规范练51.若椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1、 F2，线段x2a2 y2b2F1F2被抛物线 y22 bx的焦点 F内分成了 31 的两段(1)求椭圆的离心率；(2)如图，过点 C(1,0)的直线 l交椭圆于不同两点 A， B，且 2 ，当 AOB的面积最AC CB 大时，求直线 l和椭圆的方程解析：(1)由题意知 c 3 ， b c， a22 b2， e .b2 (c b2) ca 1 (ba)2 22(2)设直线 l： x ky1， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 2 ，(1 x1，
9、y1)2( x21， y2)，AC CB 即 2y2 y10， 由(1)知 a22 b2，椭圆方程为 x22 y22 b2.由Error! 消去 x得( k22) y22 ky12 b20， y1 y2 ， 2kk2 2y1y2 ， 1 2b2k2 2由知 y2 ， y1 .2kk2 2 4kk2 2 S AOB |y1| |y2| |y1 y2|，12 12 12 S3 3 3 ，|k|k2 2 12|k| |k| 12 2|k|k| 324当且仅当| k|22，即 k 时取等号，此时直线的方程为 x y1 或 x y1.2 2 2又当| k|22 时， y1y2 2kk2 2 4kk2 2
10、 1，8k2 k2 2 2由 y1y2 得 b2 ，1 2b2k2 2 52椭圆方程为 1.x25 y2522(2018贵州兴义八中月考)已知点 M( ， )在椭圆 C： 1( ab0)上，且椭圆6 2x2a2 y2b26的离心率为 .63(1)求椭圆 C的方程；(2)若斜率为 1的直线 l与椭圆 C交于 A、 B两点，以 AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)，求 PAB的面积解析：(1)由已知得Error!解得Error!故椭圆 C的方程为 1.x212 y24(2)设直线 l的方程为 y x m， A(x1， y1)，B(x2， y2)， AB的中点为 D(x0， y0)由Error
11、! 消去 y，整理得 4x26 mx3 m2120，则 x0 m， y0 x0 m m，x1 x22 34 14即 D .(34m， 14m)因为 AB是等腰三角形 PAB的底边，所以 PD AB，即 PD的斜率 k 1，解得 m2.2 m4 3 3m4此时 x1 x23， x1x20，则| AB| |x1 x2| 3 ，又点2 2 x1 x2 2 4x1x2 2P到直线 l： x y20 的距离为 d ，32所以 PAB的面积为 S |AB|d .12 923已知 P是圆 C： x2 y24 上的动点， P在 x轴上的射影为 P，点 M满足 ，当PM MP P在圆 C上运动时，点 M形成的轨
12、迹为曲线 E.(1)求曲线 E的方程；(2)经过点 A(0,2)的直线 l与曲线 E相交于点 C， D，并且 ，求直线 l的方程AC 35AD 解析：(1)如图，设 M(x， y)，则 P(x,2y)在圆 C： x2 y24 上7所以 x24 y24，即曲线 E的方程为 y21.x24(2)经检验，当直线 l x轴时，题目条件不成立，所以直线 l的斜率存在(如图)设直线 l： y kx2， C(x1， y1)， D(x2， y2)，则联立Error! (14 k2)x216 kx120. (16 k)24(14 k2)120，得 k2 .34x1 x2 ， 16k1 4k2x1x2 . 121
13、 4k2又由 ，得 x1 x2，AC 35AD 35将它代入，得 k21， k1(满足 k2 )34所以直线 l的斜率为 k1.所以直线 l的方程为 y x2.4已知抛物线 C的顶点为坐标原点，焦点 F(1,0)，其准线与 x轴的交点为 K，过点 K的直线 l与 C交于 A， B两点，点 A关于 x轴的对称点为 D.(1)证明：点 F在直线 BD上；(2)设 ，求 BDK内切圆 M的方程FA FB 89解析：(1)证明：由题设可知 K(1,0)，抛物线的方程为 y24 x，则可设直线 l的方程为x my1，A(x1， y1)， B(x2， y2)， D(x1， y1)，故Error! 整理得
14、y24 my40，故Error!则直线 BD的方程为8y y2 (x x2)，y2 y1x2 x1即 y y2 ，4y2 y1(x y24)令 y0，得 x 1，y1y24所以 F(1,0)在直线 BD上(2)由(1)可知Error!所以 x1 x2( my11)( my21)4 m22，x1x2( my11)( my21)1，又 ( x11， y1)， ( x21， y2)，FA FB 故 ( x11)( x21) y1y2 x1x2( x1 x2)584 m2，FA FB 则 84 m2 ， m ，89 43故直线 l的方程为 3x4 y30 或 3x4 y30，y2 y1 y2 y1 2
15、 4y1y2 ，16m2 16473故直线 BD的方程为 3x y30 或73x y30，7又 KF为 BKD的平分线，故可设圆心 M(t,0)(10)的一个焦点，则点 F到 C的一条渐近线的距离为( )A. B33C. m D3 m3解析：双曲线方程为 1，焦点 F到一条渐近线的距离为 b .选 A.x23m y23 3答案：A3已知双曲线 1( a0)的离心率为 2，则 a( )x2a2 y23A2 B.62C. D152解析：因为双曲线的方程为 1，所以 e21 4，因此 a21， a1.选 D.x2a2 y23 3a2答案：D4等轴双曲线 C的中心在原点，焦点在 x轴上， C与抛物线
16、y216 x的准线交于 A， B两点，| AB|4 ，则 C的实轴长为( )3A. B22 2C4 D8解析：抛物线 y216 x的准线方程是 x4，所以点 A(4,2 )在等轴双曲线3C： x2 y2 a2(a0)上，将点 A的坐标代入得 a2，所以 C的实轴长为 4.答案：C5已知圆( x2) 2 y236 的圆心为 M，设 A为圆上任一点， N(2,0)，线段 AN的垂直平分线交 MA于点 P，则动点 P的轨迹是( )A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线10解析：点 P在线段 AN的垂直平分线上，故| PA| PN|.又 AM是圆的半径，| PM| PN| PM| PA| AM|6| MN|，
17、由椭圆定义知，点 P的轨迹是椭圆答案：B6下列双曲线中，焦点在 y轴上且渐近线方程为 y2 x的是( )A x2 1 B. y21y24 x24C. x21 D y2 1y24 x24解析：A、B 选项中双曲线的焦点在 x轴上，C、D 选项中双曲线的焦点在 y轴上，又令 x20，得 y2 x，令 y2 0，得 y x，故选 C.y24 x24 12答案：C7已知双曲线 1( a0， b0)的焦距为 2 ，且双曲线的一条渐近线与直线x2a2 y2b2 52x y0 垂直，则双曲线的方程为( )A. y21 B x2 1x24 y24C. 1 D. 13x220 3y25 3x25 3y220解析
18、：由题意得 c ， ，则 a2， b1，所以双曲线的方程为 y21.5ba 12 x24答案：A8已知双曲线 C： 1( a0， b0)的焦距为 10，点 P(2,1)在 C的一条渐近线上，则x2a2 y2b2C的方程为( )A. 1 B. 1x220 y25 x25 y220C. 1 D. 1x280 y220 x220 y280解析：依题意Error!，解得Error!，双曲线 C的方程为 1.x220 y25答案：A9已知双曲线 C： 1 的离心率 e ，且其右焦点为 F2(5,0)，则双曲线 C的方程x2a2 y2b2 54为( )11A. 1 B. 1x24 y23 x29 y216
19、C. 1 D. 1x216 y29 x23 y24解析：由题意得 e ，又右焦点为 F2(5,0)， a2 b2 c2，所以 a216， b29，1 b2a2 54故双曲线 C的方程为 1.x216 y29答案：C10在同一平面直角坐标系中，方程 a2x2 b2y21 与 ax by20( ab0)表示的曲线大致是( )解析：将方程 a2x2 b2y21 变形为 1， ab0， b0， 0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲x24 y2b2线的两条渐近线相交于 A， B， C， D四点，四边形 ABCD的面积为 2b，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 3y24 x
20、24 4y23C. 1 D. 1x24 y24 x24 y212解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形 ABCD为矩形双曲线的渐近线方程为 yx，圆的方程为 x2 y24，不妨设交点 A在第一象限，由 y x， x2 y24 得 xAb2 b2， yA ，故四边形 ABCD的面积为 4xAyA 2 b，解得 b212，故所求的44 b2 2b4 b2 32b4 b2双曲线方程为 1，选 D.x24 y212答案：D二、填空题13若椭圆的方程为 1，且此椭圆的焦距为 4，则实数 a_.x210 a y2a 2解析：由椭圆的焦距为 4得 c2，当 20， b0)的一个焦点，且双曲线的离x2a2
21、y2b213心率为 2，则该双曲线的方程为_解析：由抛物线 y28 x可知准线方程为 x2，所以双曲线的左焦点为(2,0)，即c2；又因为双曲线的离心率为 2，所以 e 2，故 a1，由 a2 b2 c2知 b23，所以ca该双曲线的方程为 x2 1.y23答案： x2 1y2316已知双曲线 E： 1( a0， b0)矩形 ABCD的四个顶点在 E上， AB， CD的中点x2a2 y2b2为 E的两个焦点，且 2|AB|3| BC|，则 E的离心率是_解析：由已知得| AB| CD| ，| BC| AD| F1F2|2 c.2b2a因为 2|AB|3| BC|，所以 6 c,2b23 ac，
22、 3 e,2(e21)3 e,2e23 e20，解4b2a 2b2a2得 e2，或 e (舍去)12答案：2B组 大题规范练1过双曲线 1 的右焦点 F2，倾斜角为 30的直线交双曲线于 A， B两点， O为坐x23 y26标原点， F1为左焦点(1)求| AB|；(2)求 AOB的面积解析：(1)由题意得 a23， b26， c29， F2(3,0)直线方程为 y (x3)，33由Error! 得 2x2 26.33 x 3 即 5x26 x270， x3 或 x .95则 A ， B(3， 2 )(95， 235) 3| AB| .(95 3)2 ( 235 23)2 1635(2)由(1
23、)得直线方程为 x3 y3 0，3 314(0,0)到直线的距离 d ，| 33|3 9 32 S AOB |AB|d .12 12 1635 32 12352已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆 x2 y22 x0 的圆心重合，且椭圆过点2( ， 1)2(1)求椭圆的标准方程；(2)过点 P(0,1)的直线与该椭圆交于 A、 B两点， O为坐标原点，若 2 ，求 AOB的面AP PB 积解析：(1)设椭圆的方程为 1( a b0)， c为半焦距，由 c 得 a2 b22，x2a2 y2b2 2椭圆过点( ，1)， 1，22a2 1b2由解得 a24， b22，即所求椭圆的标准方程为 1.x
24、24 y22(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 2 ，有Error!AP PB 设直线方程为 y kx1，代入椭圆方程整理得(2 k21) x24 kx20，解得 x ，设 x1 ， x2 ， 2k8k2 22k2 1 2k 8k2 22k2 1 2k 8k2 22k2 1则 2 ，解得 k2 ， 2k 8k2 22k2 1 2k 8k2 22k2 1 114所以 AOB的面积 S |OP|x1 x2| .12 12 28k2 22k2 1 1268 31483已知椭圆 ： 1( ab0)经过点 M ，且离心率为 .x2a2 y2b2 (3， 12) 32(1)求椭圆 的方
25、程；(2)设点 M在 x轴上的射影为点 N，过点 N的直线 l与椭圆 相交于 A， B两点，且 3 NB 0，求直线 l的方程NA 解析：(1)由已知可得 1，3a2 14b2 ，a2 b2a 32解得 a2， b1，15所以椭圆 的方程为 y21.x24(2)由已知 N的坐标为( ，0)，3当直线 l斜率为 0时，直线 l为 x轴，易知 3 0 不成立NB NA 当直线 l斜率不为 0时，设直线 l的方程为 x my ，代入 y21，3x24整理得(4 m2)y22 my10，3设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则y1 y2 ， 23m4 m2y1y2 ， 14 m2由 3 0，
26、得 y23 y1，NB NA 由解得 m .22所以直线 l的方程为 x y ，22 3即 y (x )2 34.如图所示，抛物线 y24 x的焦点为 F，动点 T(1， m)，过 F作TF的垂线交抛物线于 P， Q两点，弦 PQ的中点为 N.(1)证明：线段 NT平行于 x轴(或在 x轴上)；(2)若 m0且| NF| TF|，求 m的值及点 N的坐标解析：(1)证明：易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为x1，动点 T(1， m)在准线上，则 kTF .m2当 m0 时， T为抛物线准线与 x轴的交点，这时 PQ为抛物线的通径，点 N与焦点 F重合，显然线段 NT在 x轴上当 m0
27、时，由条件知 kPQ ，2m所以直线 PQ的方程为 y (x1)，2m联立Error!得 x2(2 m2)x10， (2 m2)24 m2(4 m2)0，设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，可知 x1 x22 m2，16y1 y2 (x1 x22)2 m.2m所以弦 PQ的中点 N .(2 m22 ， m)又 T(1， m)，所以 kNT0，则 NT平行于 x轴综上可知，线段 NT平行于 x轴(或在 x轴上)(2)已知| NF| TF|，在 TFN中，tan NTF 1 NTF45，|NF|TF|设 A是准线与 x轴的交点，则 TFA是等腰直角三角形，所以| TA| AF|2，又动点 T(1， m)，其中 m0，则 m2.因为 NTF45，所以 kPQtan 451，又焦点 F(1,0)，可得直线 PQ的方程为 y x1.由 m2，得 T(1,2)，由(1)知线段 NT平行于 x轴，设 N(x0， y0)，则 y02，代入 y x1，得 x03，所以 N(3,2)
